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第八章 多元函数微分学1

第一节 多元函数1

一、区域1

二、多元函数的概念4

三、多元函数的极限6

四、多元函数的连续性10

习题8-112

第二节 多元函数的偏导数13

一、偏导数的概念及计算13

二、高阶偏导数18

习题8-220

第三节 全微分与可微性21

一、全微分的概念21

二、连续性与可微性 偏导数与可微性23

三、全微分的几何意义26

四、全微分在近似计算中的应用29

五、高阶全微分30

习题8-332

第四节 多元复合函数的求导法则33

一、链锁法则33

二、复合函数一阶全微分形式的不变性37

习题8-439

第五节 隐函数的求导公式41

一、一个方程的情形41

二、方程组的情形44

习题8-549

第六节 方向导数与梯度51

一、方向导数51

二、梯度54

习题8-657

第七节 二元函数的泰勒公式58

一、皮亚诺余项的泰勒公式58

二、拉格朗日余项的泰勒公式61

习题8-765

总习题八65

第九章 多元函数微分学的应用69

第一节 多元函数微分学的几何应用69

一、空间曲线的切线与法平面69

二、曲面的切平面与法线73

习题9-177

第二节 多元函数的极值问题78

一、多元函数的极值及最大值、最小值78

二、条件极值 拉格朗日乘数法87

习题9-292

总习题九93

第十章 重积分95

第一节 二重积分的概念与性质95

一、二重积分的概念95

二、二重积分的性质99

习题10-1102

第二节 二重积分的计算法103

一、利用直角坐标计算二重积分103

二、利用极坐标计算二重积分111

三、二重积分的一般变量替换114

二、对面积的出面积分的计算法118

习题10-2118

一、曲面的面积121

第三节 二重积分的应用121

二、薄板的重心123

三、薄板的转动惯量125

四、引力126

习题10-3127

第四节 三重积分的概念及其计算法127

一、三重积分的概念127

二、利用直角坐标计算三重积分128

三、利用柱面坐标计算三重积分132

四、利用球面坐标计算三重积分135

五、三重积分的变量替换139

六、含参变量的积分141

习题10-4147

总习题十149

第十一章 曲线积分与曲面积分152

第一节 对弧长的曲线积分152

一、对弧长的曲线积分的概念与性质152

二、对弧长的曲线积分的计算方法154

习题11-1156

第二节 对坐标的曲线积分157

一、变力作功与对坐标的曲线积分的定义157

二、对坐标的曲线积分的计算法160

三、两类曲线积分的联系164

习题11-2165

第三节 曲线积分与路径无关的条件166

一、格林公式166

二、平面上曲线积分与路径无关的条件及牛顿-莱布尼茨公式171

习题11-3178

第四节 对面积的曲面积分180

一、对面积的曲面积分的概念180

习题11-4184

一、对坐标的曲面积分的概念及性质185

第五节 对坐标的曲面积分185

二、对坐标的曲面积分的计算法189

三、两类曲面积分的联系193

习题11-5194

第六节 高斯公式195

习题11-6201

第七节 斯托克斯公式202

习题11-7207

第八节 空间曲线积分与路径无关的条件208

习题11-8211

一、场的概念212

第九节 场论初步212

二、向量场的通量与散度213

三、向量场的环境量与旋度216

四、算子？219

习题11-9221

总习题十一222

第十二章 无穷级数225

第一节 常数项级数的概念及其本性质225

一、常数项级数的概念225

二、常数项级数的基本性质及其收敛的必要条件229

习题12-1233

一、正项级数部分和有上界判敛法235

第二节 正项级数敛散性的判别法235

二、比较判别法及其极限形式237

三、达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法241

四、积分判别法246

五、拉阿伯判别法248

六、斯特林公式的极限形式及其应用250

习题12-2250

第三节 任意项级数253

一、交错级数及其收敛性的莱布尼茨判别法253

二、任意项级数的绝对收敛和条件收敛256

习题11-3261

三、级数的柯西收剑准则261

第四节 函数项级数与幂级数262

一、函数项级数262

二、幂级数的收敛半径与收敛域264

三、幂级数的性质与级数的求和271

习题12-4276

第五节 泰勒级数277

一、泰勒级数277

二、泰勒级数的应用287

习题*12-5294

一、函数项级数的一致收敛性与判别法296

第六节 函数项级数的一致收敛性296

二、一致收敛级数的基本性质297

习题*12-6301

第七节 傅立叶级数301

一、三角级数301

二、三角函数系的正交性302

三、周期为2l的傅立叶级数及其狄利克雷收敛定理303

四、将只在[0，l]上有定义的函数展成正弦或余弦级数311

五、傅里叶级数的复数形式与非周期函数的积分展开形式315

习题12-7321

总习题十二322

第十三章 常微分方程324

第一节 一般概念324

一、引例324

二、基本定义326

习题13-1328

第二节 一阶微分方程329

一、可分离变量的微分方程329

二、齐次微分方程332

三、一阶线性微分方程338

习题*13-2343

一、y(n)=f(x)型的微分方程(类型1)345

第三节 高阶微分方程的可降阶类型345

二、y =f(x,y )型的微分方程(类型2)347

三、y =f(y,y )型的微分方程(类型3)350

习题13-3351

第四节 高阶线性微分方程及其解的结构352

一、n阶线性微分方程通解的结构352

二、二阶线性微分方程的一些重要定理356

习题13-4358

第五节 常系数性微分方程359

一、二阶常系数线性方程的实例359

二、二阶常系数线性齐次方程通解的求法362

三、n阶常系数线性齐次方程通解的求法364

四、二阶常系数线性非齐次方程365

五、应用问题举例374

六、欧拉方程376

习题13-5379

第六节 微分方程的有关补充知识381

一、全微分方程与积分因子381

二、二阶线性非齐次微分方程解的一般公式386

三、常系数线性微分方程组求解举例388

习题13-6390

总习题十三391

习题答案与提示393