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第1章 基础：逻辑和证明1

1.1 命题逻辑1

1.1.1 引言1

1.1.2 命题1

1.1.3 条件语句4

1.1.4 复合命题的真值袁7

1.1.5 逻辑运算符的优先级7

1.1.6 翻译语句8

1.1.7 系统规范说明8

1.1.8 布尔检索9

1.1.9 逻辑难题9

1.1.10 逻辑运算和位运算10

练习11

1.2 命题等价17

1.2.1 引言17

1.2.2 逻辑等价17

1.2.3 德摩根律的运用19

1.2.4 构建新的逻辑等价式20

练习21

1.3 谓词和量词24

1.3.1 引言24

1.3.2 谓词24

1.3.3 量词26

1.3.4 其他量词28

1.3.5 约束论域量词28

1.3.6 量词的优先级28

1.3.7 绑定变量28

1.3.8 涉及量词的逻辑等价29

1.3.9 否定量化表达式29

1.3.10 翻译语句为逻辑表达式31

1.3.11 在系统说明中运用量词32

1.3.12 选自Lewis Carroll的例子32

1.3.13 逻辑程序设计33

练习34

1.4 嵌套量词38

1.4.1 引言38

1.4.2 量词的顺序39

1.4.3 将数学语句翻译成涉及嵌套量词的语句41

1.4.4 将嵌套量词翻译为汉语41

1.4.5 将汉语语句翻译成逻辑表达式42

1.4.6 否定嵌套量词42

练习43

1.5 推理规则48

1.5.1 引言48

1.5.2 命题逻辑的有效论证48

1.5.3 命题逻辑的推理规则49

1.5.4 用推理规则建立论证51

1.5.5 消解51

1.5.6 谬误52

1.5.7 带量词命题的推理规则52

1.5.8 命题推理和量化语句推理规则的结合53

练习54

1.6 证明导论57

1.6.1 引言57

1.6.2 一些专用术语57

1.6.3 定理陈述的理解58

1.6.4 证明定理的方法58

1.6.5 直接证明58

1.6.6 反证法59

1.6.7 归谬证明60

1.6.8 证明中的错误62

1.6.9 仅仅是开始63

练习64

1.7 证明的方法和策略65

1.7.1 引言65

1.7.2 穷举证明和分情形证明65

1.7.3 存在性证明68

1.7.4 唯一性证明69

1.7.5 证明策略69

1.7.6 寻找反例71

1.7.7 行动证明策略71

1.7.8 填充71

1.7.9 未解决问题的作用74

1.7.10 其他证明方法74

练习75

关键术语和结果76

复习题78

补充练习79

计算机题目80

计算和研究80

写作题目81

第2章 基本结构：集合、函数、数列与求和82

2.1 集合82

2.1.1 引言82

2.1.2 幂集合85

2.1.3 笛卡儿积86

2.1.4 使用带量词的集合符号87

2.1.5 量词的真值集合87

练习87

2.2 集合运算89

2.2.1 引言89

2.2.2 集合恒等式90

2.2.3 扩展的并集和交集93

2.2.4 计算机表示集合的方式94

练习95

2.3 函数98

2.3.1 引言98

2.3.2 一对一函数和映上函数100

2.3.3 反函数和函数组合102

2.3.4 函数的图像104

2.3.5 几个重要的函数104

练习107

2.4 序列与求和111

2.4.1 引言111

2.4.2 序列111

2.4.3 特殊的整数序列112

2.4.4 求和113

2.4.5 基数116

练习118

关键术语与结果120

复习题122

补充练习122

计算机课题124

计算和研究124

写作题目124

第3章 基础：算法、整数和矩阵125

3.1 算法125

3.1.1 引言125

3.1.2 搜索算法127

3.1.3 排序128

3.1.4 贪心算法130

3.1.5 停机问题131

练习132

3.2 函数的增长135

3.2.1 引言135

3.2.2 大O记号135

3.2.3 一些重要的大O结果138

3.2.4 函数组合的增长139

3.2.5 大Ω与大Θ记号141

练习142

3.3 算法的复杂度145

3.3.1 引言145

3.3.2 时间复杂度145

3.3.3 理解算法的复杂度147

练习149

3.4 整数和除法151

3.4.1 引言151

3.4.2 除法151

3.4.3 带余除法152

3.4.4 同余算术152

3.4.5 同余应用154

3.4.6 密码学155

练习156

3.5 素数和最大公约数157

3.5.1 引言157

3.5.2 素数157

3.5.3 关于素数的猜想和一些未解决问题160

3.5.4 最大公约数和最小公倍数161

练习162

3.6 整数和算法163

3.6.1 引言163

3.6.2 整数表示164

3.6.3 整数运算算法166

3.6.4 同余幂168

3.6.5 欧几里得算法169

练习171

3.7 数论应用173

3.7.1 引言173

3.7.2 若干有用的结果173

3.7.3 线性同余175

3.7.4 中国剩余定理175

3.7.5 大整数计算机算术176

3.7.6 伪素数177

3.7.7 公钥密码学179

3.7.8 RSA密码系统179

3.7.9 RSA加密180

3.7.10 RSA解密180

3.7.11 用RSA作为公钥系统180

练习181

3.8 矩阵184

3.8.1 引言184

3.8.2 矩阵算术184

3.8.3 矩阵乘法算法185

3.8.4 矩阵转置和幂186

3.8.5 0-1矩阵187

练习189

关键术语和结果191

复习题193

补充练习194

计算机题目196

计算和研究196

写作题目197

第4章 归纳与递归198

4.1 数学归纳法198

4.1.1 引言198

4.1.2 数学归纳法199

4.1.3 利用数学归纳法证明的例子200

4.1.4 为什么说数学归纳法是有效的208

4.1.5 使用数学归纳法时犯的错误208

练习209

4.2 强归纳法与良序性214

4.2.1 引言214

4.2.2 强归纳法214

4.2.3 利用强归纳法证明的例子215

4.2.4 计算几何学中使用强归纳法217

4.2.5 利用良序性证明219

练习220

4.3 递归定义与结构归纳法223

4.3.1 引言223

4.3.2 递归地定义函数223

4.3.3 递归地定义集合与结构226

4.3.4 结构归纳法229

4.3.5 广义归纳法232

练习232

4.4 递归算法236

4.4.1 引言236

4.4.2 证明递归算法的正确性239

4.4.3 递归与迭代240

4.4.4 归并排序241

练习244

4.5 程序正确性245

4.5.1 引言245

4.5.2 程序验证246

4.5.3 推理规则246

4.5.4 条件语句247

4.5.5 循环不变量248

练习249

关键术语和结果251

复习题251

补充练习252

计算机题目256

计算和研究256

写作题目257

第5章 计数258

5.1 计数的基础258

5.1.1 引言258

5.1.2 基本的计数原则258

5.1.3 比较复杂的计数问题261

5.1.4 容斥原理262

5.1.5 树图263

练习264

5.2 鸽巢原理267

5.2.1 引言267

5.2.2 广义鸽巢原理268

5.2.3 巧妙使用鸽巢原理270

练习271

5.3 排列与组合273

5.3.1 引言273

5.3.2 排列273

5.3.3 组合275

练习277

5.4 二项式系数279

5.4.1 二项式定理279

5.4.2 帕斯卡恒等式和三角形281

5.4.3 其他的二项式系数恒等式282

练习283

5.5 排列与组合的推广286

5.5.1 引言286

5.5.2 有重复的排列286

5.5.3 有重复的组合286

5.5.4 具有不可区别物体的集合的排列289

5.5.5 把物体放入盒子289

练习292

5.6 生成排列和组合295

5.6.1 引言295

5.6.2 生成排列295

5.6.3 生成组合296

练习297

关键术语和结果298

复习题299

补充练习300

计算机题目302

计算和研究303

写作题目303

第6章 离散概率304

6.1 离散概率引论304

6.1.1 引言304

6.1.2 有限概率304

6.1.3 事件组合的概率306

6.1.4 概率的推理307

练习307

6.2 概率论309

6.2.1 引言309

6.2.2 概率指派309

6.2.3 事件的组合311

6.2.4 条件概率311

6.2.5 独立性312

6.2.6 伯努利试验与二项分布313

6.2.7 随机变量314

6.2.8 生日问题314

6.2.9 蒙特卡罗算法316

6.2.10 概率方法317

练习318

6.3 贝叶斯定理321

6.3.1 引言321

6.3.2 贝叶斯定理321

6.3.3 贝叶斯spam过滤器323

练习325

6.4 期望值和方差327

6.4.1 引言327

6.4.2 期望值327

6.4.3 期望的线性性质329

6.4.4 平均情形下的计算复杂度330

6.4.5 几何分布332

6.4.6 独立随机变量332

6.4.7 方差333

6.4.8 切比雪夫不等式335

练习336

关键术语和结果338

复习题339

补充练习340

计算机题目342

计算和研究343

写作题目343

第7章 高级计数技术344

7.1 递推关系344

7.1.1 引言344

7.1.2 递推关系344

7.1.3 用递推关系构造模型345

练习349

7.2 求解线性递推关系354

7.2.1 引言354

7.2.2 求解常系数线性齐次递推关系354

7.2.3 常系数线性非齐次的递推关系357

练习360

7.3 分治算法和递推关系363

7.3.1 引言363

7.3.2 分治递推关系363

练习368

7.4 生成函数370

7.4.1 引言370

7.4.2 关于幂级数的有用事实371

7.4.3 计数问题与生成函数374

7.4.4 使用生成函数求解递推关系376

7.4.5 使用生成函数证明恒等式377

练习378

7.5 容斥382

7.5.1 引言382

7.5.2 容斥原理382

练习385

7.6 容斥原理的应用387

7.6.1 引言387

7.6.2 容斥原理的另一种形式387

7.6.3 埃拉托色尼筛388

7.6.4 映上函数的个数389

7.6.5 错位排列390

练习391

关键术语和结果393

复习题393

补充练习394

计算机题目396

计算和研究396

写作题目397

第8章 关系398

8.1 关系及其性质398

8.1.1 引言398

8.1.2 函数作为关系399

8.1.3 集合的关系399

8.1.4 关系的性质400

8.1.5 关系的组合402

练习403

8.2 n元关系及其应用406

8.2.1 引言406

8.2.2 n元关系406

8.2.3 数据库和关系407

8.2.4 n元关系的运算408

8.2.5 SQL410

练习410

8.3 关系的表示412

8.3.1 引言412

8.3.2 用矩阵表示关系412

8.3.3 用图表示关系414

练习415

8.4 关系的闭包417

8.4.1 引言417

8.4.2 闭包418

8.4.3 有向图的路径418

8.4.4 传递闭包419

8.4.5 沃舍尔算法422

练习424

8.5 等价关系425

8.5.1 引言425

8.5.2 等价关系426

8.5.3 等价类427

8.5.4 等价类与划分428

练习430

8.6 偏序434

8.6.1 引言434

8.6.2 字典顺序436

8.6.3 哈塞图437

8.6.4 极大元素与极小元素438

8.6.5 格440

8.6.6 拓扑排序441

练习443

关键术语和结果447

复习题448

补充练习449

计算机题目452

计算和研究452

写作题目453

第9章 图454

9.1 图和图模型454

练习459

9.2 图的术语和几种特殊的图461

9.2.1 引言461

9.2.2 基本术语461

9.2.3 一些特殊的简单图463

9.2.4 偶图464

9.2.5 特殊类型的图的一些应用465

9.2.6 从旧图到新图468

练习468

9.3 图的表示和图的同构471

9.3.1 引言471

9.3.2 图的表示471

9.3.3 邻接矩阵472

9.3.4 关联矩阵474

9.3.5 图的同构474

练习477

9.4 连通性480

9.4.1 引言480

9.4.2 通路480

9.4.3 无向图的连通性482

9.4.4 有向图的连通性483

9.4.5 通路与同构484

9.4.6 计算顶点之间的通路数485

练习485

9.5 欧拉通路与哈密顿通路489

9.5.1 引言489

9.5.2 欧拉通路与欧拉回路489

9.5.3 哈密顿通路与哈密顿回路493

练习496

9.6 最短通路问题500

9.6.1 引言500

9.6.2 最短通路算法502

9.6.3 旅行商问题505

练习507

9.7 可平面图509

9.7.1 引言509

9.7.2 欧拉公式511

9.7.3 库拉图斯基定理513

练习514

9.8 图着色516

9.8.1 引言516

9.8.2 图着色的应用519

练习520

关键术语和结果524

复习题525

补充练习526

计算机题目530

计算和研究530

写作题目531

第10章 树532

10.1 概述532

10.1.1 树作为模型536

10.1.2 树的性质537

练习539

10.2 树的应用542

10.2.1 引言542

10.2.2 二叉搜索树542

10.2.3 决策树544

10.2.4 前缀码546

10.2.5 博弈树548

练习551

10.3 树的遍历555

10.3.1 引言555

10.3.2 通用地址系统555

10.3.3 遍历算法556

10.3.4 中缀、前缀和后缀记法561

练习563

10.4 生成树566

10.4.1 引言566

10.4.2 深度优先搜索567

10.4.3 宽度优先搜索569

10.4.4 回溯571

10.4.5 有向图中的深度优先搜索572

练习573

10.5 最小生成树576

10.5.1 引言576

10.5.2 最小生成树算法577

练习580

关键术语和结果581

复习题582

补充练习583

计算机题目586

计算和研究586

写作题目586

第11章 布尔代数588

11.1 布尔函数588

11.1.1 引言588

11.1.2 布尔表达式和布尔函数589

11.1.3 布尔代数恒等式590

11.1.4 对偶性591

11.1.5 布尔代数的抽象定义592

练习593

11.2 布尔函数的表示594

11.2.1 积之和展开式594

11.2.2 函数完全性595

练习596

11.3 逻辑门电路597

11.3.1 引言597

11.3.2 门的组合597

11.3.3 电路的例子599

11.3.4 加法器600

练习601

11.4 电路的极小化603

11.4.1 引言603

11.4.2 卡诺图604

11.4.3 无需在意的条件609

11.4.4 奎因-莫可拉斯基方法609

练习613

关键术语和结果615

复习题616

补充练习616

计算机题目618

计算和研究618

写作题目619

第12章 计算模型620

12.1 语言和文法620

12.1.1 引言620

12.1.2 短语结构文法621

12.1.3 短语结构文法的类型623

12.1.4 派生树624

12.1.5 巴克斯-诺尔范式625

练习626

12.2 带输出的有限状态机629

12.2.1 引言629

12.2.2 带输出的有限状态机630

练习633

12.3 不带输出的有限状态机635

12.3.1 引言635

12.3.2 串的集合635

12.3.3 有限状态自动机635

12.3.4 有限状态机的语言识别636

12.3.5 非确定型有限状态自动机640

练习642

12.4 语言的识别646

12.4.1 引言646

12.4.2 正则集合646

12.4.3 克莱因定理647

12.4.4 正则集合和正则文法649

12.4.5 一个不能由有限状态自动机识别的集合651

12.4.6 一些更强大的机器652

练习653

12.5 图灵机655

12.5.1 引言655

12.5.2 图灵机的定义655

12.5.3 用图灵机识别集合657

12.5.4 用图灵机计算函数658

12.5.5 不同类型的图灵机659

12.5.6 丘奇-图灵论题659

12.5.7 计算复杂度、可计算性和可判定性660

练习662

关键术语和结果664

复习题665

补充练习666

计算机题目668

计算和研究668

写作题目668

附录A 实数和正整数公理669

附录B 指数函数和对数函数673

附录C 伪代码675

推荐读物679

参考文献682