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第1章 绪论1

1.1 “数值分析”研究对象与特点1

1.2 数值计算的误差2

1.2.1 误差来源与分类2

1.2.2 误差与有效数字3

1.2.3 函数计算的误差估计4

1.3 误差定性分析与避免误差危害5

1.3.1 病态问题与条件数5

1.3.2 算法的数值稳定性6

1.3.3 避免误差危害的若干原则7

习题一8

第2章 方程求根9

2.1 方程求根与二分法9

2.1.1 引言9

2.1.2 二分法10

2.2 迭代法及其收敛11

2.2.1 不动点迭代法11

2.2.2 局部收敛性与收敛阶13

2.3 Steffensen加速迭代法14

2.4 Newton迭代法16

2.4.1 Newton法及其收敛性16

2.4.2 Newton下山法17

2.4.3 重根情形18

2.4.4 离散Newton法（割线法）19

习题二20

第3章 解线性方程组的直接法21

3.1 引言与矩阵的一些基础知识21

3.1.1 引言21

3.1.2 矩阵特征值与谱半径21

3.1.3 对称正定矩阵23

3.1.4 正交矩阵与初等矩阵23

3.2 Gauss消去法25

3.2.1 Gauss顺序消去法25

3.2.2 消去法与矩阵三角分解27

3.2.3 列主元消去法28

3.3 直接三角分解法29

3.3.1 Doolittle分解法29

3.3.2 Cholesky分解与平方根法31

3.3.3 三对角方程组的追赶法32

3.4 向量和矩阵范数34

3.4.1 内积与向量范数34

3.4.2 矩阵范数35

3.5 误差分析与病态方程组38

3.5.1 矩阵条件数与扰动方程组误差界38

3.5.2 病态方程组的解法41

习题三42

第4章 解线性方程线的迭代法45

4.1 迭代法及其收敛性45

4.1.1 向量序列及矩阵序列的极限45

4.1.2 迭代法的构造46

4.1.3 迭代法的收敛性与收敛速度47

4.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法49

4.2.1 Jacobi迭代法49

4.2.2 Gauss-Seidel迭代法50

4.2.3 J法与GS法的收敛性51

4.3 逐次超松驰迭代法53

4.3.1 SOR迭代公式53

4.3.2 SOR迭代法收敛性54

习题四56

第5章 插值与最小二乘法59

5.1 插值问题与插值多项式59

5.2 Lagrange插值60

5.2.1 线性插值与二次插值60

5.2.2 Lagrange插值多项式61

5.2.3 插值余项与误差估计62

5.3 均差与Newton插值公式65

5.3.1 均差及其性质65

5.3.2 Newton插值66

5.4 差分与Newton前后插值公式67

5.4.1 差分及其性质67

5.4.2 等距节点插值公式69

5.5 Hermite插值71

5.6 分段低次插值73

5.6.1 多项式插值的收敛性问题73

5.6.2 分段线性插值74

5.6.3 分段三次Hermite插值75

5.7 三次样条插值76

5.7.1 三次样条函数76

5.7.2 三弯矩方程77

5.7.3 三次样条插值收敛性80

5.8 曲线拟合的最小二乘法80

5.9 正交多项式及其在最小二乘的应用83

5.9.1 内积与正交多项式83

5.9.2 Legendre多项式85

5.9.3 Chebyshev多项式86

5.9.4 其他正交多项式87

5.9.5 用正交多项式作最小二乘拟合88

习题五89

第6章 数值积分91

6.1 数值积分基本概念91

6.1.1 引言91

6.1.2 插值求积公式91

6.1.3 求积公式的代数精确度92

6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性94

6.2 梯形公式与Simpson求积公式95

6.2.1 Newton-Cotes公式与Simpson公式95

6.2.2 复合梯形公式与复合Simpson公式97

6.3 外推原理与Romberg求积100

6.3.1 复合梯形公式递推化与节点加密100

6.3.2 外推法与Romberg求积公式101

6.4 Gauss型求积公式105

6.4.1 最高代数精确度求积公式105

6.4.2 Gauss-Legendre求积公式108

6.4.3 Gauss-Chebyshev求积公式109

习题六110

第7章 常微分方程数值解112

7.1 引言112

7.2 简单的单步法及基本概念112

7.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法112

7.2.2 单步法的局部截断误差115

7.2.3 改进Euler法116

7.3 Runge-Kutta方法117

7.3.1 显示Runge-Kutta法的一般形式117

7.3.2 三、三级显示R-K方法118

7.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择119

7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性121

7.4.1 单步法的收敛性121

7.4.2 绝对稳定性122

7.5 线性多步法124

7.5.1 线性多步法的一般公式124

7.5.2 Adams显式与隐式方法125

7.5.3 Adams预测-校正方法128

7.5.4 Milne方法与Hamming方法129

7.6 一阶方程组与高阶方程数值方法133

习题七134

计算实验题136

参考文献138