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第一章 复数与复变函数1

§1 复数及其几何表示1

1.1 复数在平面上的几何表示1

1.2 复数的运算2

1.3 复球面及无穷大6

§2 复变函数7

2.1 区域与曲线7

2.2 复变函数的概念8

2.3 复变函数的极限10

2.4 复变函数的连续性11

习题一12

第二章 解析函数13

§1 解析函数的概念13

1.1 复变函数的导数13

1.2 解析函数的概念15

§2 函数解析的充要条件16

§3 初等函数20

3.1 指数函数20

3.2 对数函数21

3.3 幂函数22

3.4 三角函数23

3.5 反三角函数24

3.6 双曲函数与反双曲函数25

习题二25

第三章 复变函数的积分27

§1 复变函数积分的概念27

1.1 积分的定义与计算27

1.2 积分的性质30

§2 柯西积分定理32

2.1 柯西-古萨特基本定理32

2.2 复合闭路定理33

2.3 原函数35

§3 柯西积分公式37

§4 解析函数的高阶导数39

§5 解析函数与调和函数的关系42

习题三46

第四章 级数48

§1 复级数48

1.1 复数项级数48

1.2 复变函数项级数50

§2 泰勒级数54

§3 洛朗级数59

3.1 洛朗级数及其收敛圆环59

3.2 洛朗展开定理60

习题四67

§1 孤立奇点69

1.1 孤立奇点的类型69

第五章 留数69

1.2 函数的零点与极点的关系72

1.3 函数在无穷远点的性态75

§2 留数78

2.1 留数的定义及留数定理78

2.2 函数在极点的留数79

2.3 无穷远点的留数82

§3 留数在定积分计算中的应用84

3.1 形如？的积分84

3.2 形如？的积分86

3.3 形如？的积分88

3.4 综合举例90

习题五93

第六章 共形映射95

§1 导数的几何意义与共形映射95

1.1 曲线的切向量95

1.2 导数的几何意义96

1.3 共形映射的概念98

§2 分式线性映射98

2.1 分式线性映射的三种特殊形式99

2.2 分式线性映射的性质100

2.3 唯一决定分式线性映射的条件103

2.4 两个典型区域间的映射104

§3 几个初等函数所构成的映射107

3.1 幂函数w=zn（n≥2为整数）107

3.2 指数函数w=ez109

习题六111

第七章 傅里叶变换113

§1 傅里叶级数113

§2 傅里叶积分与傅里叶变换118

2.1 傅里叶积分公式118

2.2 傅里叶变换119

§3 单位脉冲函数（δ函数）122

3.1 δ函数的引入及物理描述122

3.2 弱极限与δ函数的性质124

3.3 δ函数的傅氏变换125

§4 傅氏变换的性质128

4.1 基本性质128

4.2 卷积与卷积定理133

§5 其他种类的傅里叶变换136

5.1 序列的傅里叶变换136

5.2 单边傅里叶变换138

习题七141

第八章 拉普拉斯变换144

§1 拉普拉斯变换的概念144

1.1 拉普拉斯变换的定义144

1.2 拉普拉斯变换存在定理146

2.1 拉氏变换的基本性质147

§2 拉氏变换的性质147

2.2 拉氏变换的卷积定理153

§3 拉普拉斯逆变换155

3.1 反演积分公式155

3.2 利用留数计算反演积分155

§4 常微分方程的拉氏变换解法157

习题八160

第九章 应用问题选读162

§1 快速傅氏变换应用软件的使用162

1.1 离散傅氏变换162

1.2 快速傅氏变换应用软件的使用163

§2 离散信号的z变换165

§3 线性时不变系统的数学描述166

3.1 连续线性时不变系统166

3.2 离散线性时不变系统168

4.1 相关函数的概念与性质169

§4 相关函数与能量谱密度169

4.2 相关函数与能量谱密度的关系171

§5 平面场的复势174

5.1 用复变函数表示平面向量场174

5.2 平面流速场的复势175

5.3 静电场的复势177

§6 辐角原理及其应用179

6.1 对数留数179

6.2 辐角原理180

6.3 儒歇定理181

习题九183

习题参考答案184

附录1 傅氏变换简表192

附录2 拉氏变换简表195

附录3 FFT子程序200

参考文献203