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第一章 离散时间Markov链1

1　转移概率与Chapman-Kolmogorov方程1

1．定义与例子1

2．Chapman-Kolmogorov方程3

2　状态分类5

1．相通状态5

2．常返状态与非常返状态7

3．随机游动9

4．一个应用例子12

5．Stirling公式13

3　极限概率13

1．极限概率14

2．一些例子15

3．平稳分布20

1．赌徒破产问题22

4　赌徒破产问题及其在药物试验中的应用22

2．赌徒破产问题在药物试验中的应用24

5　处于非常返状态的平均时间25

1．非常返状态的逗留时间25

2．非常返状态的到达概率27

第二章 Poisson过程29

1　Poisson过程的定义29

1．计数过程29

2．Poisson过程30

2　Poisson过程的性质32

1．到达时间间隔32

2．等待时间33

3．Poisson过程的分解34

4．一个概率计算问题37

5．到达时间的条件分布38

3 Poisson过程的应用举例40

1．定义46

第三章 Brown运动46

1　Brown运动的定义及一些基本性质46

2．关于Brown运动的一些分布函数48

3．首中时刻49

4．最大值变量50

5．Brown运动的零点与Arcsine律50

2　与Brown运动有关的过程52

1．有飘移的Brown运动52

2．几何Brown运动52

第四章 随机过程的公理化定义54

1　概率空间54

1．集合论中的一些基本概念54

2．概率空间的定义55

3．概率空间的一般性质55

2　随机变量与条件期望57

1．随机变量与期望57

2．条件期望58

3．独立性59

3　构造特殊的概率空间59

1．确定事件与概率59

2．存在性定理60

3．有限维欧几里得空间上的概率60

4．函数空间上的概率60

5．完备概率空间61

4　随机过程61

1．过滤的概率空间61

2．随机过程62

3．Markov链62

4．鞅62

5．停时62

6．计数过程63

1．Radon-Nikodym定理64

2．测度变换下的性质64

5　测度变换64

3．Girsanov定理65

第五章 离散时间鞅67

1　条件期望67

1．概率空间与变量67

2．条件期望68

2　鞅与下鞅71

1．定义与例子71

2．鞅变换73

3．Doob可选停时定理73

4．Doob可选停时定理的一个应用74

5．Doob分解定理75

3　逆向随机游动76

1．逆向随机游动76

2．投票定理77

1．基本过程78

第六章 连续时间鞅78

1　Brown运动与Poisson过程78

2．关于鞅的基本结论81

2　二次变差过程82

1．Doob-Meyer分解定理82

2．连续平方可积鞅82

3．二次变差过程的另一种解释84

3　关于连续平方可积鞅的随机积分84

1．连续平方可积鞅的轨道84

2．简单过程关于鞅的随机积分85

3．一般过程关于鞅的随机积分86

4　It？公式与随机微分方程87

1．It？公式87

2．随机微分方程89

1．连续时间过程的Radon-Nikodym导数90

2．一个简单的测度变换90

5　测度变换与Girsanov定理90

3．Girsanov定理91

6　鞅方法的应用91

1．一个引理91

2．几何Poisson过程92

7　关于半鞅的变量替换法则的一般形式93

1．关于半鞅的变量替换法则的一般形式93

2．变量替换法则的一些应用94

第七章 寿险中的随机性99

1　寿险数学的基本概念99

1．引言99

2．计数过程100

3．随机积分100

4．保险与年金101

5．寿险数学基础102

6．现值变量的期望102

7．关于计数过程的其他例子103

8．鞅104

2　逐段可微函数与积分105

1．逐段可微函数105

2．关于函数的积分105

3．链式法则106

4．一些特殊情形107

3　支付量函数109

1．支付量函数109

5．计数过程109

2．利率110

3．支付量的价值评估与准备金的概念111

4　寿险前瞻式准备金113

1．一般框架113

2．Thiele微分方程114

3．储蓄保费与风险保费114

4．从随机过程的观点讨论寿险115

1．Markov性质116

第八章 寿险中的Markov链116

1　连续时间Markov链116

2．Markov性质的另一个定义118

3．Chapman-Kolmogorov方程118

4．转移强度118

5．Kolmogorov微分方程119

6．占位概率与似然函数121

7．向后和向前积分方程122

2　一些例子122

1．只有一种死因的单个生命122

2．有多种死因的单个生命123

3．伤残、健康与死亡模型124

3　齐次Markov链125

1．矩阵符号125

2．齐次Markov链126

1．合同涉及的支付量127

4　标准的多状态合同127

2．现值变量的期望与前瞻准备金128

3．向后（Thiele）微分方程129

4．平衡原理131

5．储蓄保费和风险保费131

6．微分方程的应用131

5　现值变量的高阶矩132

1．现值变量的矩满足的微分方程132

2．数值例子134

3．寿险中的偿付能力额度135

6　关于利率的Markov链模型136

1．利率力过程136

2．完整的Markov模型136

3．组合模型的矩137

4．组合保单的数值例子137

7　应用鞅方法推导Thiele微分方程139

1．连续时间破产概率141

第九章 非寿险中的风险过程141

1　风险过程的破产概念141

2．离散时间破产概率142

2　Sparre Andersen风险模型143

1．模型的定义143

2．关于破产概率的Lundberg不等式144

3　应用Laplace变换求解经典风险模型的破产概率146

1．Laplace变换146

2．应用Laplace变换求解破产概率147

4　索赔变量服从Phase分布时经典风险模型破产概率148

1．Phase分布148

2．经典风险模型中破产概率的矩阵表示150

5　鞅方法在非寿险定价中的应用152

1．引言152

2．标准差原理152

4．多周期分析——离散时间153

3．效用函数与方差原理153

5．多周期分析——连续时间155

第十章 离散时间金融模型158

1　二叉树158

1．股票158

2．债券159

3．无风险组合159

4．衍生工具价格的期望形式160

2　二叉树模型160

1．股票161

2．债券161

3．向后推导方法162

4．二周期的树结构162

5．路径概率163

6．结论166

2．概率测度167

1．股票价格过程167

3　二叉树表示定理167

3．滤波168

4．请求权168

5．条件期望168

6．可预期过程169

7．鞅170

8．二叉树表示定理171

9．二叉树表示定理在金融上的应用172

10．构造策略173

11．无套利性174

12．自融资策略的存在性174

13．在鞅测度下求贴现请求权的期望174

14．测度Q的存在性和唯一性175

第十一章 连续时间金融模型178

1　鞅表示定理178

1．鞅的概念178

3．无漂移项179

2．鞅表示定理179

4．指数鞅180

2　构造策略180

1．投资组合（φ，ψ）180

2．自融资策略180

3．随机微分方程180

4．可复制策略181

3　Black-Scholes模型182

1．基本的Black-Scholes模型182

2．零利率182

3．可复制策略183

4．非零利率184

5．可复制策略184

6．看涨期权185

2．Markov性186

1．引言186

1　一些性质186

第十二章 平稳独立增量过程186

3．无穷可分分布与Lévy-Khintchine公式187

4．一维Lévy过程190

2　Lévy过程的结构191

1．Poisson点过程191

2．Lévy过程的分解192

3　Feynman-Kac公式193

1．Feynman-Kac公式193

2．Feynman-Kac公式与偏微分方程的联系194

3．微分方程的概率表示的应用例子：Arcsine律196

第十三章 更新过程198

1　基本概念198

1．定义198

2．计数过程N（t）的期望199

3．E［N（t）］的上下界200

4．一些特殊情形下E［N（t）］的解析表达式201

2　关于更新次数的极限202

1．强大数律202

2．更新过程的概念推广204

3　年龄与剩余寿命205

1．平均剩余寿命205

2．平均年龄205

3．时刻t之前的平均寿命206

4．剩余寿命的极限分布206

5．年龄的极限分布207

6．均衡更新过程207

4　更新方程简介209

1．定义209

2．解的渐近表示211

参考文献212

名词索引214