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第一章 绪论1

第一节 高等数学的作用和意义1

一、高等数学的发展过程1

二、微积分研究的几类科学问题及方法3

第二节 如何学好高等数学5

思考题6

第二章 函数7

第一节 函数的概念7

一、函数的概念7

二、函数的几种特性11

三、分段函数12

练习题2.113

思考题2.113

第二节 初等函数14

一、基本初等函数14

二、初等函数15

思考题2.216

练习题2.216

第三节 函数模型16

一、数学模型的概念17

二、建立数学模型的过程18

三、函数模型及其建立19

思考题2.323

练习题2.323

习题二24

第一节 极限的概念27

一、函数的极限27

第三章　极限与连续27

二、极限的性质32

思考题3.133

练习题3.133

第二节 无穷小量与无穷大量33

一、无穷小量33

二、无穷大量35

三、无穷小量与无穷大量的关系35

思考题3.236

练习题3.236

第三节 两个重要极限36

一、极限？=136

二、极限？（1+？）x=e38

第四节 极限的四则运算法则39

一、极限的四则运算法则39

练习题3.339

思考题3.339

二、无穷小的比较41

思考题3.443

练习题3.443

第五节 函数的连续性43

一、函数的连续43

二、函数的间断45

思考题3.547

练习题3.547

第六节 闭区间上连续函数的性质47

一、初等函数的连续性48

二、闭区间上连续函数的性质49

习题三50

练习题3.650

思考题3.650

第四章　导数与微分52

第一节 导数的概念52

一、两个实例52

二、导数与高阶导数的概念54

三、可导与连续55

思考题4.156

练习题4.156

第二节 求导举例与变化率举例57

一、求导举例57

二、变化率举例59

第三节 函数四则运算求导法则61

一、函数和、差、积、商的求导法则61

练习题4.261

思考题4.261

二、导数的基本公式64

三、高阶导数的运算64

思考题4.365

练习题4.365

第四节 复合函数的求导法则65

一、复合函数的求导法则65

二、反函数的求导法则67

三、参数方程求导法68

思考题4.470

练习题4.470

第五节 隐函数求导法71

一、隐函数求导法71

二、对数求导法73

练习题4.574

思考题4.574

第六节 微分及其几何意义75

一、微分的概念75

二、微分的几何意义76

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则77

思考题4.678

练习题4.678

第七节 微分在近似计算中的应用79

一、用微分做近似计算的理论依据79

二、微分在近似计算中的应用举例79

思考题4.780

练习题4.781

习题四81

一、拉格朗日中值定理83

第一节 拉格朗日（Lagrange）中值定理及函数的单调性83

第五章　导数的应用83

二、函数的单调性84

思考题5.187

练习题5.187

第二节 洛必达（L'Hospital）法则87

一、洛必达法则88

二、求未定式？和？的极限举例88

三、其他类型的未定式91

思考题5.293

练习题5.293

第三节 函数的极值94

一、极值的定义94

二、极值的判定94

练习题5.396

思考题5.396

第四节 函数的最值97

一、闭区间上连续函数的最大最小值97

二、实际问题的最大最小值97

思考题5.498

练习题5.498

第五节 函数图形的凹向与拐点99

一、曲线的凹向及其判别法99

二、曲线的拐点100

思考题5.5101

一、曲线的渐近线102

二、作函数图形的一般步骤102

第六节 函数图形的描绘102

练习题5.5102

三、函数图形举例103

思考题5.6104

练习题5.6104

第七节 曲率105

一、曲率的概念105

二、曲率的计算107

三、曲率圆与曲率半径108

四、曲率在机械制造中的应用举例109

思考题5.7110

练习题5.7110

习题五110

第六章　不定积分112

第一节 不定积分的概念及性质112

一、原函数112

二、不定积分的概念113

三、不定积分的性质114

思考题6.1115

练习题6.1115

第二节 不定积分的基本积分公式116

一、不定积分基本公式116

二、凑微分法117

思考题6.2120

练习题6.2120

第三节 不定积分的换元积分法121

一、换元积分法121

二、换元积分法的应用举例121

思考题6.3124

练习题6.3124

第四节 不定积分的分部积分法125

思考题6.4127

练习题6.4128

习题六128

第七章　定积分130

第一节 定积分概念130

一、两个实例130

二、定积分的定义132

三、定积分的几何意义133

思考题7.1135

练习题7.1135

第二节 定积分的性质135

一、定积分的性质135

二、利用定积分的几何意义计算定积分137

第三节 微积分基本公式138

练习题7.2138

思考题7.2138

一、变上限定积分139

二、牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式140

思考题7.3141

练习题7.3141

第四节 定积分的分部积分公式142

一、定积分的分部积分公式142

二、分段函数的定积分143

思考题7.4143

练习题7.4144

第五节 定积分的换元积分法144

一、定积分的换元积分法144

二、奇（偶）函数定积分145

第六节 反常积分147

思考题7.5147

练习题7.5147

一、积分区间为无穷区间的反常积分148

二、无界函数的反常积分149

思考题7.6150

练习题7.6150

习题七151

第八章　定积分的应用153

第一节 用定积分求平面曲线的弧长和平面图形的面积153

一、定积分应用的微元法153

二、用定积分求平面曲线的弧长154

三、用定积分求平面图形的面积155

一、用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积158

第二节 平行截面面积为已知的立体的体积158

思考题8.1158

练习题8.1158

二、用定积分求旋转体的体积159

思考题8.2161

练习题8.2161

第三节 定积分的物理应用161

一、变力做功161

二、物体质量162

三、液体压力164

思考题8.3166

练习题8.3166

习题八166

第一节 常微分方程的基本概念168

一、微分方程的基本概念168

第九章 常微分方程168

二、简单微分方程的建立169

思考题9.1170

练习题9.1171

第二节 常微分方程中的变量分离法171

一、可分离变量的常微分方程171

二、分离变量法172

思考题9.2173

练习题9.2173

第三节 一阶线性微分方程的解法173

一、一阶线性微分方程的定义174

二、一阶线性微分方程的求解方法174

思考题9.3176

练习题9.3176

第四节 一阶线性微分方程的应用176

二、机械中的应用177

一、求曲线方程177

练习题9.4179

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程179

一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质179

思考题9.4179

二、二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法180

思考题9.5181

练习题9.5181

第六节 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法181

一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质181

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法182

思考题9.6185

练习题9.6185

二、常见函数拉氏变换186

第七节 拉氏变换的概念186

一、拉氏变换的定义186

思考题9.7189

练习题9.7189

第八节 拉氏变换的性质189

一、主要性质189

二、其他性质192

思考题9.8194

练习题9.8194

第九节 拉氏逆变换194

一、拉氏逆变换的定义194

二、拉氏逆变换的性质194

练习题9.9195

第十节 用拉氏变换解常微分方程195

思考题9.9195

一、拉氏变换解常系数线性微分方程196

二、线性系统传递函数197

思考题9.10200

练习题9.10200

习题九200

第十章 向量与空间解析几何202

第一节 空间直角坐标系与向量的概念202

一、空间直角坐标系202

二、向量的概念203

三、向量线性运算的几何表示204

思考题10.1205

练习题10.1205

二、向量？的坐标表示206

一、向径的坐标表示206

第二节 向量的坐标表示法及其线性运算206

三、两点间的距离公式207

四、数量积209

五、向量积211

思考题10.2214

练习题10.2214

第三节 平面方程214

一、平面的点法式方程214

二、平面的一般式方程216

思考题10.3217

练习题10.3217

第四节 直线方程218

一、直线的一般式方程218

二、直线的点向式方程218

思考题10.4220

第五节 空间曲面的方程221

一、空间曲面的一般概念221

练习题10.4221

二、母线平行于坐标轴的柱面223

三、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面224

思考题10.5225

练习题10.5226

第六节 平面截痕法226

一、球面226

二、椭球面226

三、椭圆抛物面227

四、锥面228

思考题10.6228

一、空间曲线的一般式方程229

练习题10.6229

第七节 空间曲线229

二、空间曲线的参数方程231

思考题10.7232

练习题10.7232

第八节 空间曲线在坐标面上的投影233

一、投影柱面233

二、空间曲线在坐标面上的投影233

思考题10.8235

练习题10.8235

习题十235

第十一章 多元函数微分学238

第一节 多元函数的极限与连续238

一、平面区域238

二、多元函数240

三、二元函数的极限242

四、二元函数的连续243

思考题11.1244

练习题11.1245

第二节　偏导数245

一、二元函数偏导数的概念246

二、求偏导举例248

三、高阶偏导数250

思考题11.2250

练习题11.2251

第三节 全微分251

一、全微分的定义252

三、微分在近似计算中的应用254

二、全微分计算254

四、全微分的几何意义255

思考题11.3255

练习题11.3256

第四节 复合函数的求导法则256

一、复合函数的求偏导数方法256

二、隐函数的微分法261

思考题11.4262

练习题11.4262

第五节 多元函数微分法的几何应用263

一、曲线的切线263

二、曲面的切平面265

思考题11.5267

练习题11.5267

二、函数极值的求法268

一、多元函数极值的概念268

第六节 多元函数极值268

三、条件极值270

思考题11.6273

练习题11.6274

第七节 多元函数的最大值与274

最小值274

一、闭区域上连续的多元函数的最值274

二、实际问题中的多元函数的最值275

思考题11.7276

练习题11.7276

第八节 最小二乘法277

一、最小二乘法原理277

二、线性拟合279

练习题11.8282

思考题11.8282

习题十一283

第十二章 多元函数的积分286

第一节 二重积分的概念和性质286

一、二重积分的概念286

二、二重积分的性质289

思考题12.1290

练习题12.1290

第二节 二重积分的计算291

一、在直角坐标系下计算二重积分291

二、在极坐标系下计算二重积分295

思考题12.2296

一、平面薄板的质量297

第三节 二重积分的应用297

练习题12.2297

二、平面薄板的重心298

三、平面薄板的转动惯量299

练习题12.3300

第四节 对坐标的曲线积分300

一、对坐标的曲线积分概念和性质301

二、对坐标的曲线积分的计算302

思考题12.4304

练习题12.4304

第五节　格林公式305

一、格林公式305

二、对坐标的曲线积分与路径无关的条件306

练习题12.5307

思考题12.5307

习题十二308

第十三章　无穷级数310

第一节 数项级数及其基本性质310

一、数项级数的概念310

二、数项级数的基本性质312

思考题13.1313

练习题13.1313

第二节 正项级数及其敛散性313

一、正项级数的意义313

二、正项级数的比较判别法314

三、正项级数的比值判别法（达朗贝尔判别法）315

思考题13.2316

练习题13.2316

一、交错级数及其收敛性317

第三节 任意项级数的收敛性317

二、绝对收敛与条件收敛318

思考题13.3320

练习题13.3320

第四节 幂级数的概念与性质320

一、幂级数的概念320

二、幂级数的性质322

思考题13.4323

练习题13.4323

第五节 幂级数的收敛区间及其收敛半径的求法323

一、幂级数的收敛区间323

二、幂级数收敛半径的求法324

第六节 直接法将函数展开成幂级数326

一、泰勒公式326

练习题13.5326

思考题13.5326

二、泰勒级数327

三、直接法将函数展开成幂级数举例328

思考题13.6329

练习题13.6330

第七节 间接法将函数展开成幂级数330

一、间接法将函数展开成幂级数330

二、幂级数的应用332

思考题13.7334

练习题13.7334

习题十三334

第一节 初识数学软件包Mathematica336

一、用Mathematica做算术运算336

第十四章 数学软件包Mathematica及其应用336

二、代数运算339

三、系统的帮助340

四、Notebook与Cell340

五、常用函数342

六、变量343

七、自定义函数344

八、表344

九、解方程345

十、Which语句346

十一、Print语句346

思考题14.1346

第二节 用Mathematica做高等数学347

一、用Mathematica求极限347

练习题14.1347

二、用Mathematica进行求导运算348

三、用Mathematica做导数应用题348

四、用Mathematica做一元函数的积分349

五、用Mathematica解常微分方程349

六、用Mathematica做向量运算和三维图形350

七、用Mathematica求偏导数与多元函数的极值351

八、用Mathematica计算重积分352

九、用Mathematica进行级数运算353

十、用Mathematica做数值计算354

思考题14.2355

练习题14.2356

习题十四357

附录358

习题答案358

参考书目400