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第1章 二次三项式1

1.1二次三项式的最小值1

1.2判别式1

1.3各种各样的问题2

1.4中间值定理3

1.5与二次曲线有关的方程4

1.6结式4

解答4

第2章 方程11

2.1变量替换11

2.2推测方程的根11

2.3带根号的方程11

2.4各种方程12

解答12

第3章 方程组16

3.1求出全部解16

3.2求实解17

3.3正解18

3.4方程组的解的组数18

3.5线性方程组19

解答21

第4章 整除性27

4.1偶数与奇数27

4.2欧几里得算法与算术基本定理28

4.3分解为素因子29

4.4整除性准则29

4.5最大公约数与最小公倍数30

4.6完全整除性30

4.7素数幂的整除性31

4.8除法的剩余32

4.9互素的数33

4.10素数33

4.11余数的运算33

解答34

第5章 恒等式47

5.1因式分解47

5.2证明恒等式47

5.3平方和47

5.4辅助的恒等式48

5.5分解有理函数49

5.6分解二次函数49

5.7有整数部分的恒等式50

解答50

第6章 有理数与无理数57

6.1数的比较57

6.2在分母中的无理数57

6.3有根号的恒等式58

6.4有理性与无理性的证明59

6.5共轭数59

6.6法里数列60

6.7有整数部分的问题61

解答61

第7章 文字题71

7.1不用计算的解答71

7.2计算71

7.3不等式72

7.4整数的近似73

7.5对应73

解答74

第8章 不等式78

8.1不等式x＋1/x≥278

8.2三角形不等式78

8.3柯西不等式79

8.4平均值不等式79

8.5有几何解释的不等式80

8.6循环不等式81

8.7各种不等式81

8.8凸性83

8.9赫尔德不等式与闵科夫斯基不等式83

解答84

第9章 和与积的计算97

9.1等差数列与等比数列97

9.2改变求和的次序98

9.3和数Sk（n）=1k＋2k…＋nk98

9.4分拆为数对99

9.5用两种方法计算同一个和数100

解答100

第10章 多项式I106

10.1分解为完全平方106

10.2多项式的根106

10.3多项式的系数106

10.4韦达定理107

10.5整除性107

10.6根的不等式108

10.7多项式的实根的个数109

10.8各种问题109

10.9插值多项式110

10.10有理函数111

10.11整值多项式111

10.12多元多项式111

解答112

第11章 三角学122

11.1不等式与数的比较122

11.2三角恒等式123

11.3方程123

11.4与正多边形相关的正弦及余弦之和123

11.5和的计算与积的计算124

11.6 cos n？及其他的表达式125

11.7辅助的三角函数125

11.8三角多项式126

解答127

第12章 整数方程140

12.1毕达哥拉斯三元组140

12.2求出全部解140

12.3求出某些解141

12.4证明解的个数是有限的141

12.5佩尔方程142

12.6马尔可夫方程142

解答143

第13章 数学归纳法151

13.1和的计算151

13.2不等式151

13.3恒等式的证明152

13.4各种问题152

解答153

第14章 组合分析158

14.1组合分析基础158

14.2二项式系数的恒等式159

14.3算术中的牛顿二项式159

14.4算术中的组合分析160

14.5二项式系数的不等式160

14.6二项式系数的算术161

14.7容斥原理161

14.8模拟二项式系数162

14.9卡塔兰数162

14.10概率论基础164

解答164

第15章 递推数列179

15.1一般性质179

15.2斐波那契数179

15.3斐波那契数与欧几里得算法181

15.4组合分析中的斐波那契数181

15.5特殊的递推数列181

解答182

第16章 例子与构造188

16.1数组188

16.2无穷数列188

16.3操作系列189

16.4多项式与有理数189

16.5各种例子与构造189

解答190

第17章 抽屉原理与极端性法则195

17.1除法的余数195

17.2各种问题196

17.3以有理数逼近无理数196

17.4极端性法则197

解答198

第18章 不变量与半不变量205

18.1除法的余数205

18.2半不变量206

18.3排列的奇偶性206

解答207

第19章 逻辑212

19.1逻辑问题212

19.2逻辑悖论213

19.3命题逻辑214

解答215

第20章 策略、竞赛、表218

20.1策略的选择218

20.2转注218

20.3竞赛219

20.4称量220

20.5表221

解答222

第21章 记数系统230

21.1最后一位数码230

21.2第一位数码230

21.3其他数码231

21.4数码之和231

21.5关于十进制记数法的各种问题231

21.6十进制分数的周期与循环整数232

21.7确定一个数的d进制数记法233

21.8二进制233

21.9其他记数系统234

21.10数的其他表示法234

解答235

第22章 图243

22.1图的环243

22.2定向图244

22.3匹配244

解答245

第23章 复数248

23.1复数的恒等式与不等式248

23.2棣美弗公式249

23.3单位根249

23.4多项式的根251

解答252

第24章 用根式可解的方程258

24.1三次方程的解258

24.2三次多项式的判别式259

24.3四次方程的解259

24.4用根式可解的其他方程260

解答260

第25章 数列的极限265

25.1极限的性质265

25.2魏尔斯特拉斯定理266

25.3极限的计算267

25.4数e269

25.5共轭数269

25.6上确界270

解答270

第26章 连续函数与间断函数282

26.1单调函数282

26.2周期函数282

26.3函数的极限282

26.4连续性283

26.5中值定理284

26.6闭区间上连续函数的性质284

26.7凸函数285

26.8一致连续性286

26.9有界变差函数286

解答287

第27章 指数函数与对数函数293

27.1指数函数与对数函数的定义293

27.2指数函数294

27.3对数恒等式294

27.4不等式与数的比较294

27.5对数的无理性295

27.6几个重要的极限295

27.7双曲函数295

解答296

第28章 导数302

28.1导数的定义302

28.2初等函数的导数303

28.3多项式的重根303

28.4多项式的导数304

28.5恒等式305

28.6切线与法线305

28.7在闭区间上的可微函数306

28.8不等式307

28.9洛必达法则308

28.10方程的根的个数309

28.11周期函数309

28.12正规化对称函数309

28.13代数函数与超越函数310

28.14泰勒公式310

解答311

第29章 积分332

29.1不定积分332

29.2定积分333

29.3积分的计算335

29.4面积的计算336

29.5体积的计算336

29.6曲线的长度337

29.7曲面的面积337

29.8不等式338

29.9极限的计算339

29.10恒等式339

29.11例子与构造340

29.12反常积分340

解答340

第30章 级数354

30.1无穷和的计算354

30.2无穷乘积的计算354

30.3调和级数354

30.4关于对数的级数356

30.5关于数π的级数356

30.6复域中的指数357

30.7不等式的证明357

30.8收敛的级数与发散的级数357

30.9无穷乘积的收敛性358

解答358

第31章 数论基础369

31.1费马小定理369

31.2伪素数369

31.3欧拉函数369

31.4威尔逊定理370

31.5同余问题370

31.6函数σk（n）·因数371

31.7平方剩余372

31.8二次互反律373

31.9高斯和375

31.10两个平方之和375

31.11四个平方之和376

31.12素数模的原根377

31.13合数模的原根378

31.14关于素数的切比雪夫定理378

解答379

第32章 多项式Ⅱ402

32.1根的隔离402

32.2不可约多项式403

32.3对称多项式406

32.4切比雪夫多项式408

32.5代数数与超越数410

32.6添加多项式的根411

解答412

第33章 算法与计算425

33.1一些数的计算425

33.2算术运算、多项式425

33.3分类426

33.4公钥密码学427

解答428

第34章 函数方程434

34.1代换法434

34.2任意函数的函数方程434

34.3连续函数的函数方程435

34.4可微函数的函数方程436

34.5多项式的函数方程436

解答437

第35章 连分数447

35.1定义与基本性质447

35.2最佳逼近448

35.3连分数与佩尔方程449

解答449

第36章 形式级数与函数455

36.1形式级数455

36.2形式导数455

36.3形式级数的根456

36.4指数与对数456

36.5形式级数的恒等式457

36.6生成函数458

36.7伯努利数与伯努利多项式458

36.8分拆的个数459

36.9华林公式460

解答460

第37章 有限差分的计算472

37.1有限差分的性质472

37.2广义幂473

37.3欧拉的求和公式473

解答474

第38章 平面曲线476

38.1极坐标476

38.2曲线族的包络477

38.3曲率480

38.4密切圆481

38.5焦点与渐屈线482

解答483

第39章 集合论490

39.1有限集490

39.2集合的运算490

39.3等势集491

39.4可数集491

39.5连续统的势492

39.6势的性质492

39.7集合论的悖论493

解答493

第40章 补充498

40.1圆的有理参数化498

40.2多项式的平方和501

40.3将一个数表示为两个平方之和的形式503

40.4正17边形的作法505

40.5尺规作图508

40.6图的颜色多项式514

40.7数e与π的超越性516

40.8用根式解方程的可能性520

40.9多项式的丢番图方程529

40.10等差数列的范·德·瓦尔登定理533

40.11一些数学术语的起源536