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第1章 数学物理方程的定解问题1

1.1 基本概念1

1.1.1 偏微分方程的基本概念1

1.1.2 三类常见的数学物理方程2

1.1.3 数学物理方程的一般性问题2

1.2 数学物理方程的导出3

1.2.1 波动方程的导出4

1.2.2 输运方程的导出10

1.2.3 稳定场方程的导出15

1.3 定解条件与定解问题17

1.3.1 初始条件17

1.3.2 边界条件19

1.3.3 三类定解问题23

1.4 本章小结23

习题124

第2章 行波法27

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式27

2.1.1 达朗贝尔（D'Alembert）公式的导出27

2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义29

2.1.3 依赖区间和影响区域31

2.2 半无限长弦的自由振动32

2.3 三维波动方程的泊松公式35

2.3.1 平均值法36

2.3.2 泊松公式36

2.3.3 泊松公式的物理意义39

2.4 强迫振动41

2.4.1 冲量原理41

2.4.2 纯强迫振动43

2.4.3 一般强迫振动44

2.5 三维无界空间的一般波动问题45

2.6 本章小结48

习题249

第3章 分离变量法53

3.1 双齐次问题53

3.1.1 有界弦的自由振动53

3.1.2 均匀细杆的热传导问题57

3.1.3 稳定场分布问题60

3.2 本征值问题63

3.2.1 斯特姆-刘维型方程63

3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题64

3.2.3 斯特姆-刘维本征值问题的性质67

3.3 非齐次方程的处理71

3.3.1 本征函数展开法71

3.3.2 冲量原理法76

3.4 非齐次边界条件的处理76

3.4.1 边界条件的齐次化原理77

3.4.2 其他非齐次边界条件的处理78

3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法81

3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题81

3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念84

3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法86

3.6 本章小结89

习题391

第4章 特殊函数94

4.1 二阶线性常微分方程的级数解94

4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点94

4.1.2 方程常点邻域内的级数解94

4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解98

4.2 勒让德多项式102

4.2.1 勒让德多项式102

4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示106

4.3 勒让德多项式的性质107

4.3.1 勒让德函数的母函数107

4.3.2 勒让德多项式的递推公式109

4.3.3 勒让德多项式的正交归一性110

4.3.4 广义傅里叶级数展开112

4.4 勒让德多项式在解数理方程中的应用113

4.5 连带勒让德函数115

4.5.1 连带勒让德函数本征值问题116

4.5.2 连带勒让德函数的性质118

4.5.3 连带勒让德函数在解数理方程中的应用120

4.6 球函数120

4.6.1 一般的球函数定义121

4.6.2 球函数的正交归一性121

4.6.3 球函数的应用122

4.7 贝塞尔函数123

4.7.1 三类贝塞尔函数（贝塞尔方程的解）124

4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题127

4.8 贝塞尔函数的性质127

4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示127

4.8.2 贝塞尔函数的递推关系129

4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性130

4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开132

4.9 其他柱函数134

4.9.1 球贝塞尔函数134

4.9.2 虚宗量贝塞尔函数137

4.10 贝塞尔函数的应用139

4.11 本章小结144

习题4147

第5章 积分变换法152

5.1 傅里叶变换152

5.1.1 傅里叶积分152

5.1.2 傅里叶变换153

5.1.3 傅里叶变换的物理意义155

5.1.4 傅里叶变换的性质155

5.1.5 δ函数的傅里叶变换160

5.1.6 n维傅里叶变换160

5.2 傅里叶变换法160

5.2.1 波动问题160

5.2.2 输运问题162

5.2.3 稳定场问题163

5.3 拉普拉斯变换165

5.3.1 拉普拉斯变换165

5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理165

5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质169

5.4 拉普拉斯变换的应用172

5.4.1 拉普拉斯变换解常微分方程172

5.4.2 拉普拉斯变换解偏微分方程174

5.5 本章小结180

习题5182

第6章 格林函数法185

6.1 δ函数186

6.1.1 δ函数的定义186

6.1.2 δ函数的性质187

6.1.3 δ函数的应用190

6.2 泊松方程边值问题的格林函数法191

6.2.1 格林函数的一般概念191

6.2.2 泊松方程的基本积分公式192

6.3 格林函数的一般求法198

6.3.1 无界空间的格林函数198

6.3.2 一般边值问题的格林函数200

6.3.3 电像法201

6.3.4 电像法和格林函数的应用208

6.4 格林函数的其他求法211

6.4.1 本征函数展开法求解边值问题的格林函数211

6.4.2 冲量法求解含时间的格林函数213

6.5 本章小结216

习题6219

第7章 数学物理方程的其他解法221

7.1 延拓法221

7.1.1 半无界杆的热传导问题221

7.1.2 有界弦的自由振动222

7.2 保角变换法223

7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义223

7.2.2 拉普拉斯方程的解226

7.3 积分方程的迭代解法228

7.3.1 积分方程的几种分类229

7.3.2 迭代解法229

7.4 变分法231

7.4.1 泛函和泛函的极值231

7.4.2 里兹方法234

第8章 数学物理方程的可视化计算237

8.1 分离变量法的可视化计算237

8.1.1 矩形区泊松方程的求解237

8.1.2 直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用239

8.2 特殊函数的应用243

8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加243

8.2.2 平面波展开为球面波的叠加245

8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用248

8.2.4 球体雷达散射截面的解析解251

8.3 积分变换法的可视化计算267

8.4 格林函数的可视化计算268

参考文献272