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第1章 引论1

概要1

第一部分 线性方程13

第2章 Laplace方程13

2.1. 平均值不等式14

2.2. 最大值和最小值原理15

2.3. Harnack不等式16

2.4. Green表示17

2.5. Poisson积分19

2.6. 收敛性定理21

2.7. 导数的内估计22

2.8. Dirichlet问题；下调和函数方法22

2.9. 容量26

习题27

第3章 古典最大值原理29

3.1. 弱最大值原理30

3.2. 强最大值原理31

3.3. 先验的界33

3.4. Poisson方程的梯度估计35

3.5. Harnack不等式39

3.6. 散度形式的算子43

评注44

习题45

第4章 Poisson方程和Newton位势49

4.1. H？lder连续性49

4.2. Poisson方程的Dirichlet问题52

4.3. 二阶导数的H？lder估计54

4.4. 在边界上的估计61

4.5. 一阶导数的H？lder估计64

评注66

习题67

第5章 Banach空间和Hilbert空间69

5.1. 压缩映象原理70

5.2. 连续性方法71

5.3. Fredholm二择一性质71

5.4. 对偶空间和共轭75

5.5. Hilbert空间76

5.6. 投影定理77

5.7. Riesz表示定理77

5.8. Lax-Milgram定理78

5.9. Hilbert空间中的Fredholm二择一性质79

5.10. 弱紧性80

评注81

习题81

第6章 古典解；Schauder方法83

6.1. Schauder内估计85

6.2. 边界估计和全局估计90

6.3. Dirichlet问题96

6.4. 内部正则性和边界正则性104

6.5. 另一种方法108

6.6. 非一致椭圆型方程111

6.7. 其他边界条件：斜导数问题116

6.8. 附录1：内插不等式125

6.9. 附录2：延拓引理131

评注132

习题136

第7章 Sobolev空间139

7.1. Lp空间140

7.2. 正则化和用光滑函数逼近141

7.3. 弱导数144

7.4. 链式法则145

7.5. W k，p空间147

7.6. 稠密性定理148

7.7. 嵌入定理149

7.8. 位势估计和嵌入定理152

7.9. Morrey和John-Nirenberg估计157

7.10. 紧性结果159

7.11. 差商160

7.12. 延拓和内插162

评注165

习题165

第8章 广义解和正则性169

8.1. 弱最大值原理171

8.2. Dirichlet问题的可解性173

8.3. 弱解的可微性175

8.4. 全局正则性178

8.5. 弱解的全局有界性179

8.6. 弱解的局部性质184

8.7. 强最大值原理189

8.8. Harnack不等式189

8.9. H？lder连续性190

8.10. 在边界处的局部估计192

8.11. 一阶导数的H？lder估计198

8.12. 特征值问题201

评注203

习题205

第9章 强解207

9.1. 强解的最大值原理208

9.2. Lp估计：初步分析213

9.3. Marcinkiewicz内插定理214

9.4. Calderon-Zygmund不等式216

9.5. Lp估计220

9.6. Dirichlet问题226

9.7. 一个局部最大值原理228

9.8. H？lder和Harnack估计230

9.9. 在边界上的局部估计234

评注238

习题239

第二部分 拟线性方程243

第10章 最大值原理和比较原理243

10.1. 比较原理246

10.2. 最大值原理248

10.3. 一个反例250

10.4. 散度形式算子的比较原理251

10.5. 散度形式算子的最大值原理254

评注259

习题259

第11章 拓扑不动点定理及其应用261

11.1. Schauder不动点定理261

11.2. Leray-Schauder定理：一个特殊情形262

11.3. 一个应用264

11.4. Lerav-Schauder不动点定理267

11.5. 变分问题269

评注274

第12章 两个变量的方程275

12.1. 拟保角映射275

12.2. 线性方程梯度的H？lder估计281

12.3. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题284

12.4. 非一致椭圆型方程289

评注294

习题296

第13章 梯度的H？lder估计299

13.1. 散度形式的方程299

13.2. 两个变量的方程303

13.3. 一般形式的方程；内估计304

13.4. 般形式的方程：边界估计308

13.5. 对Dirichlet问题的应用311

评注311

习题312

第14章 边界梯度估计313

14.1. 一般区域315

14.2. 凸区域317

14.3. 边界曲率条件320

14.4. 非存在性结果326

14.5. 连续性估计331

14.6. 附录：边界曲率和距离函数332

评注335

习题335

第15章 梯度的内部和全局内估计337

15.1. 梯度的最大值原理337

15.2. 一般情形340

15.3. 梯度的内估计346

15.4. 散度形式的方程350

15.5. 存在定理选讲356

15.6. 连续边值的存在定理361

评注362

习题362

第16章 平均曲率型方程365

16.1. R n＋1中的超曲面366

16.2. 梯度的内估计376

16.3. 在Dirichlet问题中的应用381

16.4. 两个自变量的方程383

16.5. 拟保角映射386

16.6. 具有拟保角Gauss映射的图像396

16.7. 对平均曲率型方程的应用402

16.8. 附录：椭圆型参数泛函406

评注409

习题410

第17章 完全非线性方程413

17.1. 最大值原理和比较原理415

17.2. 连续性方法418

17.3. 两个变量的方程422

17.4. 对于二阶导数的H？lder估计424

17.5. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题433

17.6. Monge-Ampère方程的二阶导数估计438

17.7. Monge-Ampère型方程的Dirichlet问题442

17.8. 二阶导数全局H？lder估计445

17.9. 非线性边值问题452

评注456

习题458

参考书目461

后记489

内容索引493

记号索引503