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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 实数集的相关概念1

1.1.2 函数的概念2

1.1.3 函数的几种基本特性4

1.1.4 反函数5

1.1.5 复合函数6

1.1.6 初等函数7

习题1-18

1.2 数列的极限9

1.2.1 数列9

1.2.2 数列的极限10

1.2.3 收敛数列的性质12

习题1-213

1.3 函数的极限13

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限13

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限15

1.3.3 函数极限的性质18

习题1-318

1.4 无穷大与无穷小19

1.4.1 无穷大和无穷小19

1.4.2 无穷小的运算性质22

1.4.3 无穷小的比较23

1.4.4 曲线的渐近线24

习题1-426

1.5 极限的四则运算法则26

习题1-529

1.6 极限存在准则与两个重要极限30

1.6.1 两个极限存在准则30

1.6.2 两个重要极限30

习题1-633

1.7 函数的连续性33

1.7.1 函数连续性的概念33

1.7.2 函数的间断点35

1.7.3 连续函数的运算性质和初等函数的连续性35

习题1-737

1.8 闭区间上连续函数的性质37

习题1-839

总习题139

第2章 一元函数微分学42

2.1 导数的概念42

2.1.1 引例42

2.1.2 导数的定义43

2.1.3 求导数举例45

2.1.4 导数的几何意义46

2.1.5 函数的可导性与连续性之间的关系47

习题2-148

2.2 函数和、差、积、商的求导法则49

习题2-251

2.3 反函数和复合函数的求导法则52

2.3.1 反函数的求导法则52

2.3.2 复合函数的求导法则53

习题2-355

2.4 基本求导公式和初等函数求导数举例55

2.4.1 基本求导法则55

2.4.2 基本求导公式55

2.4.3 初等函数求导数举例56

习题2-456

2.5 高阶导数57

习题2-558

2.6 隐函数与参数方程所确定的函数的导数58

2.6.1 隐函数的求导法58

2.6.2 由参数方程所确定的函数的导数59

习题2-660

2.7 函数的微分61

2.7.1 微分的概念61

2.7.2 微分公式与微分运算法则63

2.7.3 复合函数的微分法则63

习题2-764

2.8 微分在近似计算中的应用64

习题2-866

总习题266

第3章 微分中值定理与导数的应用68

3.1 微分中值定理68

3.1.1 罗尔中值定理68

3.1.2 拉格朗日中值定理69

3.1.3 柯西中值定理71

习题3-171

3.2 洛必达法则72

3.2.1 0/0型未定式的极限72

3.2.2 ∞/∞型未定式的极限74

3.2.3 其他类型未定式的极限75

习题3-276

3.3 泰勒中值定理76

习题3-380

3.4 函数的单调性81

习题3-483

3.5 函数的极值84

习题3-588

3.6 函数的最大值和最小值88

习题3-691

3.7 曲线的凹凸性与拐点92

习题3-795

3.8 函数图形的描绘96

习题3-898

3.9 方程的近似解法——牛顿迭代法99

习题3-9102

总习题3102

第4章 不定积分105

4.1 不定积分的概念及其基本性质105

4.1.1 原函数与不定积分105

4.1.2 不定积分的基本性质109

4.1.3 不定积分的基本公式109

习题4-1111

4.2 换元积分法112

4.2.1 第一类换元法112

4.2.2 第二类换元法115

习题4-2118

4.3 分部积分法119

习题4-3121

4.4 不定积分的应用举例122

习题4-4124

总习题4125

第5章 定积分及其应用127

5.1 定积分的概念与性质127

5.1.1 定积分问题举例127

5.1.2 定积分的定义129

5.1.3 定积分的几何意义131

5.1.4 定积分的性质132

习题5-1135

5.2 牛顿-莱布尼茨公式136

5.2.1 积分上限函数及其导数136

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式138

习题5-2139

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法140

5.3.1 定积分的换元积分法140

5.3.2 定积分的分部积分法143

习题5-3145

5.4 定积分的应用147

5.4.1 微元法147

5.4.2 平面图形的面积149

5.4.3 旋转体的体积153

5.4.4 平面曲线的弧长154

5.4.5 定积分在物理中的应用举例158

习题5-4161

5.5 反常积分162

5.5.1 无穷限反常积分162

5.5.2 无界函数的反常积分164

5.5.3 反常积分应用举例165

5.5.4 Γ函数166

习题5-5168

总习题5169

第6章 多元函数微分学172

6.1 预备知识172

6.1.1 空间直角坐标系与空间的点172

6.1.2 空间曲面及其方程174

6.1.3 平面点集的基本概念177

习题6-1179

6.2 多元函数的概念179

6.2.1 二元函数179

6.2.2 n元函数181

习题6-2182

6.3 二元函数的极限与连续183

6.3.1 二元函数的极限183

6.3.2 二元函数的连续性184

6.3.3 闭区域上连续函数的性质186

习题6-3186

6.4 偏导数187

6.4.1 偏导数的概念187

6.4.2 高阶偏导数189

习题6-4190

6.5 全微分及其应用191

6.5.1 全微分的概念191

6.5.2 全微分在近似计算中的应用194

习题6-5195

6.6 复合函数与隐函数的微分法195

6.6.1 多元复合函数的求导法则195

6.6.2 隐函数的求导法则199

习题6-6201

6.7 多元函数的极值202

6.7.1 无条件极值202

6.7.2 条件极值与拉格朗日乘数法206

习题6-7208

总习题6208

第7章 二重积分213

7.1 二重积分的概念与性质213

7.1.1 二重积分的概念213

7.1.2 二重积分的几何意义216

7.1.3 二重积分的性质217

习题7-1218

7.2 二重积分的计算218

7.2.1 利用直角坐标计算二重积分219

7.2.2 利用极坐标计算二重积分224

习题7-2229

7.3 二重积分应用举例230

7.3.1 曲面的面积230

7.3.2 立体体积232

7.3.3 平面薄片的重心233

7.3.4 平面薄片的转动惯量235

习题7-3237

总习题7237

第8章 微分方程240

8.1 微分方程的基本概念240

8.1.1 引例240

8.1.2 微分方程的概念241

习题8-1243

8.2 可分离变量的微分方程243

习题8-2245

8.3 一阶线性微分方程246

8.3.1 一阶齐次线性微分方程的通解246

8.3.2 一阶非齐次线性微分方程的通解247

习题8-3249

8.4 用变量代换法解微分方程249

8.4.1 齐次方程249

8.4.2 伯努利方程251

8.4.3 可化为齐次方程的一类微分方程252

8.4.4 几种特殊类型的高阶方程254

习题8-4256

8.5 线性微分方程解的结构257

8.5.1 基本概念257

8.5.2 函数组的线性相关性258

8.5.3 线性微分方程解的结构258

习题8-5261

8.6 二阶常系数线性微分方程261

8.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程262

8.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程265

习题8-6272

总习题8273

第9章 无穷级数276

9.1 常数项级数276

9.1.1 常数项级数的概念276

9.1.2 收敛级数的基本性质279

习题9-1280

9.2 常数项级数的审敛法280

9.2.1 正项级数及其审敛法280

9.2.2 交错级数及其审敛法285

9.2.3 级数的绝对收敛与条件收敛286

习题9-2288

9.3 幂级数289

9.3.1 函数项级数的概念289

9.3.2 幂级数及其敛散性291

9.3.3 幂级数的运算性质296

习题9-3298

9.4 函数展开成幂级数299

9.4.1 泰勒级数299

9.4.2 函数展开成幂级数302

9.4.3 幂级数在近似计算中的应用举例306

习题9-4307

9.5 傅里叶级数308

9.5.1 三角级数的概念308

9.5.2 函数展开成傅里叶级数310

9.5.3 函数展开成正弦级数或余弦级数313

9.5.4 周期为2l的函数的傅里叶级数316

习题9-5318

总习题9318

第10章 数学模型简介321

10.1 数学模型的有关概念321

10.1.1 数学模型的定义321

10.1.2 数学建模的一般方法和步骤322

10.2 数学建模举例324

10.2.1 交通管理中亮黄灯的时间问题324

10.2.2 耐用新产品销售量问题326

10.2.3 最优捕鱼策略问题327

10.2.4 湖水污染问题330

10.2.5 传染病模型335

总习题10340

附录 积分表342

习题参考答案349

参考文献375