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平面解析几何学1

第一章 直角坐标1

1 直角坐标1

2 直角坐标之实际运用2

3 二点间之距离公式4

习题1.16

4 二点连线之分点坐标公式7

习题1.211

5 直线之斜角与斜率12

6 二直线之夹角公式15

7 二直线互相平行或垂直之条件17

习题1.319

第二章 方程式与轨迹21

1 常数，变数，与函数21

2 方程式之曲线22

习题2.126

3 适合所设几何条件之轨迹之方程式26

习题2.228

4 方程式之讨论29

5 讨论(1)：坐标轴上之截距29

6 讨论(2)：对称30

7 讨论(3)：曲线之范围33

8 讨论(4)：渐近线35

9 全部讨论及画曲线之例38

习题2.339

10 分解因式画图法40

11 二曲线之交点42

习题2.443

第三章 直线及圆45

1 直线之方程式45

2 一次方程式之轨迹46

3 关于直线方程式之作图及各种计算48

习题3.150

4 圆之方程式52

5 轨迹为圆之方程式判定法53

6 关于圆方程式之作图及各种计算56

7 圆与其切线之各种计算61

习题3.264

第四章 抛物线，椭圆，及双曲线67

1 抛物线67

2 "a"值大小之影响69

3 抛物线方程式之其他形式70

习题4.174

4 椭圆75

5 椭圆之性质名称及a，b，c值之讨论76

6 椭圆方程式之另一形式78

7 对于"Ax2＋By2＝C"形式方程式之轨迹判定79

习题4.284

8 双曲线85

9 双曲线之性质名称87

10 双曲线之渐近线87

11 双曲线方程式之另一形式89

习题4.393

12 锥线之切线94

习题4.495

第五章 坐标轴之变换及二次方程式曲线之实用判定法96

1 坐标轴之变换96

2 坐标轴之平移96

3 平移坐标轴后曲线方程式之变化98

4 平移坐标轴以简化方程式99

习题5.1102

5 轴平行于坐标轴而顶点在任何位置之抛物线104

6 二轴各平行于二坐标轴而中心在任何位置之椭圆106

7 二轴各平行于二坐标轴而中心在任何位置之双曲线107

8 其他情形109

习题5.2111

9 坐标轴之旋转111

10 旋转坐标轴后曲线方程式之变化114

11 利用旋转坐标轴法以消除xy项115

习题5.3119

12 一般讨论119

微分学122

第六章 极限及连续函数122

1 变数之极限122

2 无穷小及无穷大124

3 关于无穷小及无穷大之代数运算定理125

4 极限定理之代数运算式126

5 极限定理之意义128

6 函数之极限130

7 分母为零之分数——不定形132

8 其他形式之不定形136

习题6.1139

9 连续函数140

10 函数之不连续点143

11 函数在某点为不定形时之连续问题145

习题6.2146

第七章 微分法147

1 增量147

2 函数(因变数)增量之文字计算式148

3 增量比及导数149

4 导数之各种记法153

5 微分运算记法总论154

习题7.1157

6 导数之代数意义158

7 导数之几何意义161

习题7.2168

第八章 微分公式㈠——隐函数微分法；参数方程式导数公式170

1 公式总列170

2 公式〔1〕"？(f1＋f2-f3＋……)＝？＋？-？＋……"之证明172

3 公式〔2〕与〔2'〕，"？(cf1)＝c？"与"？(？)＝？"，之证明173

4 公式〔3〕"？(f1f2)＝f1？＋？"之证明174

5 公式〔4〕"？(？)＝？"之证明175

6 以上四个分解公式之连续运用177

习题8.1180

7 串算公式〔5〕"？＝？·？"之证明181

8 代数基本函数式之导数公式〔6〕与〔7〕，"？＝0"与"？＝1"，之证明183

9 代数基本函数式xn及其衍式vn之导数公式〔8〕与〔8a〕，"？(xn)＝nxn 1"与"？(vn)＝nvn-1？"，之证明184

10 代数函数之全部微分手续189

习题8.2192

11 逆算公式〔9〕"？＝？"之证明193

12 对于"隐函数"之微分方法197

13 关于三种微分方法之概论201

习题8.3203

14 曲线之参数方程式204

15 参数方程式导数公式〔5A〕"？＝？"之证明207

16 对于联立方程式应用隐函数微分法210

17 特殊情形——缺少变数之方程式214

习题8.4217

第九章 微分公式㈡—超越函数式导数公式219

1 公式总列219

2 自然对数之底，e221

3 关于对数函数之极限定理222

4 指数函数与对数函数之图形223

5 公式〔10〕与〔10a〕，"？(logex)＝？"与"？(logev)＝？·？，之证明225

6 公式〔11〕与〔11a〕，"？(logax)＝？"与"？(logav)＝？·？"，之证明227

7 公式〔12〕与〔12a〕，"？(ex)＝ex"与"？(ev)＝ev·？"，之证明229

8 公式〔13〕与〔13a〕，"？(ax)＝(logea)·ax"与"？(av)＝(logea)av·？"，之证明229

9 公式〔14〕"？(uv)＝vuv-1？＋(logeu)uv·？"之证明；对数微分法231

10 包含有基本对数式(logex，logev，logax，logav)及基本指数式(ex，ev，ax，av)之函数微分之例237

习题9.1240

11 "？"之极限值241

12 三角函数之图形244

13 公式〔15〕与〔15a〕，"？(sinx)＝cosx"与"？(sinv)＝cosv·？"，之证明248

14 公式〔16〕与〔16a〕，"？(cosx)＝-sinx"与"？(cosv)＝-sinv·？"，之证明249

15 公式〔17〕与〔17a〕，"？(tanx)＝sec2x"与"？(tanv)＝sec2v·？"，之证明250

16 公式〔18〕与〔18a〕，"？(cotx)＝-csc2x"与"？(cotv)＝-csc2v·？"，之证明251

17 公式〔19〕与〔19a〕，"？(secx)＝secx tanx"与"？(secv)＝secvtan v·？，"之证明251

18 公式〔20〕与〔20a〕，"？(cscx)＝-cscxcotx"与"？(cscv)＝-cscvcot v·？"之证明252

19 包含有基本三角函数式之函数微分之例254

习题9.2257

20 关于基本反三角函数之图形及微分手续259

21 公式〔21〕与〔21a〕，"？(sin-1 x)＝？"与"？(sin-1v)＝？’"之证明260

22 公式〔22〕与〔22a〕，"？(cos-1x)＝-？"与"？(cos-1v)＝？"，之证明264

23 公式〔23〕与〔23a〕’"？(tan-1 x)＝？"与"？(tan-1v)＝？"，之证明266

24 公式〔24〕与〔24a〕，"？(cot-1x)＝-？"与"？(cot-1v)＝-？"，之证明268

25 公式〔25〕与〔25a〕，"？(sec-1x)＝？与"？(sec-1v)＝？"，之证明269

26 公式〔26〕与〔26a〕，"？(csc-1x)＝-？"与"？(csc-1v)＝-？"，之证明271

27 包含有基本反三角函数式之函数微分之例274

习题9.3275

28 对于超越方程式应用隐函数微分法277

29 超越式之参数方程式及其微分运算278

30 对于联立超越方程式应用隐函数微分法282

31 上章与本章中微分公式及微分方法总论285

习题9.4288

第十章 导数之应用㈠——变率290

1 绪论290

2 变率之意义及原理292

3 直线运动中之速度294

4 直线运动中之加速度301

5 平面曲线运动之路线方程式，速度，及加速度304

(A)路线方程式305

(B)速度公式307

(C)加速度公式310

例题312

(D)平面曲线运动之另一种形式所设方程式及例题323

习题10.1332

6 相关时间变率及例题(8则)337

7 时间变率中之时间单位356

习题10.2357

8 自变数非代表时间之其他变率及例题(5则)362

习题10.3368

第十一章 导数之应用(二)——极大与极小——(1)基本分析371

1 绪论371

2 增函数与减函数371

(a)增函数372

(b)减函数372

(c)增函数或减函数之判定法373

(d)函数之"增部分"与"减部分"及例题374

习题11.1380

3 极大与极小之定义382

4 极大与极小之判定原则385

5 极大与极小之求法——第一种情形(使导数之值等于零)——原理分析及法则，例题386

6 极大与极小之求法——第二种情形(使导数之倒数之值等于零)——原理分析及法则，例题399

7 极大与极小之求法——特殊情形(所论函数变换函数式之点)——原理分析及法则，例题413

8 函数之端点——"端点"极大与极小：420

(a)"端点"极大与极小之理论与判定法420

(b)端点之决定425

(ⅰ)"自然端点""——意义及例题(4则)425

(ⅱ)"限制端点"——意义及例题(3则)434

(ⅲ)实际采用之端点——例题441

(c)"无穷远端点"极大与极小——意义，计算法，与例题(2则)443

9 函数之四种情形"相对"极大与极小求法总表——总表及注释450

例题455

习题11.2467

10 "绝对极大"与"绝对极小"——原理分析，求法，与例题470

11 具有不能确定值"不连续点"之函数——"绝对极大"与"绝对极小"之求法480

12 "多值函数"——"绝对极大"与"绝对极小"之求法及例题482

习题11.3486

第十二章 导数之应用(二)——极大与极小——(2)实用489

1 应用问题之基本解法——解算原则与手续489

例题(3则，附讨论)491

2 关于函数之"相对极大"与"相对极小"出现次序之定理502

定理1之证明502

定理2之证明503

定理2之系503

注意点及例题(3则)505

3 各式应用问题之演算——关于决定所论函数之"绝对极大与极小"之三种方法说明及讨论510

例题(10分)514

关于决定所论函数之端点自变数值手续综论587

习题12.1588

4 应用联立方程式隐函数微分法以解算应用问题——“变化手续’：解算手续之讨论648

例题(5则)(附"与以前解法对照说明")649

习题12.2687

5 具有参数方程式之应用问题(附例题1则)688

习题12.3698

第十三章 高阶导数及导数之变换701

1 逐次微分——高阶导数701

2 高阶导数之记法702

3 关于变数个数与方程式个数之讨论706

4 第二导数及较高阶导数之求法709

(A)原设？函数形式710

(B)原设隐函数形式711

(C)原设参数方程式形式714

例题(3则)718

习题13.1728

5 第二导数值为正或负之几何意义——原则之论述731

例题(6则)739

6 拐点——定义，判定手续，及例题746

习题13.2754

7 "相对极大与极小"之第二导数检定法759

8 加速度为位置-时间函数之第二导数762

习题13.3764

9 导数之变换——逐次微分程序中之自变数问题讨论765

变换导数之一般手续767

变换导数关系式之意义演述769

变换导数关系式之应用，二种情形讨论：775

(ⅰ) "实用量"公式中之变换导数775

(ⅱ) 微分方程式中之变换导数778

关于二种应用情形之讨论780

10 因变数与自变数互易之变换导数公式781

11 变换自变数与因变数之变换导数之例——786

(ⅰ)变换因变数而不变换自变数之变换导数786

(ⅱ)变换自变数而不变换因变数之变换导数794

(ⅲ)同时变换因变数与自变数之变换导数797

(ⅳ)附论参数方程式之变换导数799

12 在平移坐标轴程序中之变换导数公式804

13 在旋转坐标轴程序中之变换导数公式808

14 由直角坐标变换至极坐标程序中之变换导数公式——"极坐标"之规定820

曲线之"极标方程式"822

同一曲线之"极标方程式"与"卡标方程式"之互相变换822

变换导数关系式824

极坐标中之切线斜率公式与曲率半径公式828

切线斜率公式与曲率半径公式之各种形式830

例题831

习题13.4835