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第1章　基本定义1

1.1　定义和例1

1.2　光滑函数与光滑映射6

1.3　子流形和隐函数定理9

1.4　技术性的问题14

参考文献20

第2章　切丛21

2.1　流形的切丛21

2.2　内在的描述25

2.3　切空间的几何意义28

2.4　球面的切丛29

参考文献32

第3章　矢量丛33

3.1　定义和例33

3.2　矢量丛上的运算40

3.3　丛的正合序列、分裂和一的分割46

3.4　法丛51

3.5　仿紧性与一的分割55

第4章　流形上的微分学58

4.1　方向导数和矢量场58

4.2　矢量场的几何，积分曲线61

4.3　括弧运算和Frobenius定理65

4.4　矢量场的拓扑学74

4.5　附录77

参考文献81

5.1 Lie群的Lie代数82

第5章　Lie群82

5.2　局部同构，Sophus Lie的基本定理89

5.3　指数映射，较深的结果95

5.4 Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用100

5.5　解析结构和存在性定理110

5.6 单连通Lie群113

参考文献115

第6章　微分形式116

6.1 引言116

6.2　函数的微分与一次微分形式118

6.3　外代数的概述123

6.4　高次微分形式128

6.5　其它问题139

参考文献143

第7章　积分144

7.1 引言144

7.2　单形144

7.3　矢量空间中的积分153

7.4　流形上的积分162

7.5　应用169

参考文献177

第8章　de Rham定理179

8.1　例和概述179

8.2　奇异同调和de Rham定理186

8.3　单纯形同调190

8.4　de Rham定理的证明195

8.5　复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲200

参考文献207

9.1　一般的代数知识208

第9章　同调理论208

9.2　正合性217

9.3　同伦，单纯逼近221

9.4　切除和Mayer-Vietoris序列228

9.5　应用241

9.6　CW复形和进一步的计算246

参考文献255

第10章　上同调256

10.1 引言256

10.2　Pontrjagin对偶性258

10.3　乘积空间和Künneth公式261

10.4 “上”积（Cup Product）与“卡”积（Cap Product）267

10.5　Thom同构定理274

10.6　Hopf不变量279

第11章　Poincaré对偶性285

11.1 引言285

11.2　基本类287

11.3　Poincaré对偶定理294

11.4　Thom-Pontrjagin构造301

11.5　相交理论309

第12章　纤维丛通论314

12.1　引言314

12.2　具有构造群的纤维丛316

12.3　主丛323

12.4　构造群的改变331

12.5　万有丛和分类空间335

12.6　覆盖同伦性质337

12.7　杂记343

参考文献346

第13章　示性类347

13.1　圆群G=S1和对合G=Z2的示性类348

13.2　酉群U（n）的示性类（陈类）与正交群O（n）的示性类（Stiefel-Whitney类）354

13.3　计算365

13.4　其它的讲法376

13.5　Pontrjagin类381

13.6　K－群和陈特征标385

参考文献389

第14章　表示论通论390

14.1　引言390

14.2　一般概念393

14.3　紧群和不变积分395

14.4　特征标与权398

14.5　极大环面与E.Cartan定理406

14.6　实表示410

14.7　根与Weyl群413

14.8 E.Cartan定理418

14.9　其它评述421

参考文献424

第15章　示性类续论425

15.1 Borel-Hirzebruch格式425

15.2　齐性空间上的计算431

15.3 H*（BO(n);Q）和H*（BSO(n);Q）的计算438

15.4　Pontrjagin数和配边不变性444

参考文献450

16.1　流形的指标451

第16章　Hirzebruch指标定理451

16.2　配边环的构造460

16.3　乘法序列466

16.4 Milnor的怪球470

参考文献478

第17章　Laplace方程和Hodge理论479

17.1　偏微分方程（PDE）概况479

17.2　调和函数488

17.3 Laplace-Beltrami算子△495

17.4 Hirzebruch指标定理的另一表述503

17.5　Hodge定理的证明，总的思路507

17.6　Hodge定理的证明，一个特例514

17.7　Hodge定理的证明，一般情况520

17.8　澄清，微分几何概述523

17.9　复情况531

第18章　Riemann-Roch定理534

18.1 亚纯函数534

18.2　Cech构造和层542

18.3　层的上同调549

18.4 Riemann-Roch定理564

18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广575

18.6　其它的评述584

参考文献590

第19章　Atiyah-Singer指标定理591

19.1　矢量从上的一般微分算子591

19.2　椭圆算子的解析指标，Hodge理论603

19.3 K理论概述610

19.4 Todd亏数与拓扑指标623

19.5 Atiyah-Singer指标定理633

参考文献636

第20章 曲率和相关问题637

20.1 曲率637

20.2　曲面的Gauss-Bonnet定理647

20.3　曲率和示性类663

20.4　主丛上的联络677

20.5 Yang-Mills泛函698

参考文献708