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第一章 数系与第一次数学危机9

§1数系9

1.1自然数与整数9

1.2有理数与无理数9

1.3实数10

§2毕达哥拉斯学派关于数的认识10

§3第一次数学危机12

§5反证法13

§4第一次数学危机的消除13

习题14

第二章 连分数及其在天文学上的应用15

§1辗转相除法15

§2连分数16

2.1引言16

2.2简单连分数和它的渐近分数17

§3连分数在天文学上的应用19

3.1为什么四年一闰，而百年又少一闰？19

3.3二十四节气21

3.2农历的月大月小、闰年闰月21

3.4闰月放在哪？22

3.5日月食23

3.6干支纪年24

习题25

第三章 数学命题和证明方法26

§1概念，概念的外延和内涵26

§2等价关系与分类（划分）27

§4公理28

§3定义28

§5定理29

5.1定理的结构29

5.2定理的形式30

5.3定理的互逆性30

习题31

§6充分条件和必要条件31

6.1充分的特征31

6.2必要的特征32

6.3必要而且充分的特征32

§7演绎法33

习题33

§8分析与综合34

§9归纳法35

§10数学归纳法36

习题37

第四章 欧氏几何与第五公设38

§1几何学的诞生38

§2几何学的研究对象和研究方法39

§3欧几里得的《原本》40

§4第五公设41

§5非欧几里得几何的诞生44

§6罗巴切夫斯基的解答45

§7非欧几何的相容性45

§8黎曼的非欧几何46

§9非欧几何诞生的意义47

第五章 概率论初步48

§1随机现象48

1.1必然现象与随机现象48

2.1基本事件与复杂事件50

§2事件的关系与运算50

1.3随机事件50

1.2随机实验50

2.2事件的集合表示，样本空间52

2.3事件的相等与包含52

2.4事件的和、积与差53

2.5对立事件54

2.6互不相容事件完备组54

2.7运算法则54

习题55

§3排列与组合56

习题58

§4概率58

4.1概率的概念58

4.2概率的统计定义58

4.3概率的性质59

4.4古典概型60

4.5几何概率62

4.6概率的数学定义63

4.7条件概率与乘法公式64

4.8独立性66

4.9全概率公式67

4.10逆概率公式（贝叶斯公式）68

习题69

§5两个实例70

5.1色盲的遗传问题70

5.2孟德尔遗传定律72

第六章 线性代数初步74

§1二元一次联立方程组与二阶行列式74

§2三元一次联立方程组与三阶行列式76

习题79

§3行列式的性质80

3.1矩阵、行列式、余子式80

3.2按代数余子式展开行列式81

3.3行列式的性质83

习题84

§4高斯消元法85

4.1消元法85

4.2线性方程组的增广矩阵86

4.3高斯消元法88

4.4高斯-若当消元法91

习题92

§5矩阵代数92

5.1矩阵92

5.2矩阵的加法与数乘矩阵93

5.3矩阵的乘法94

5.4逆矩阵96

5.5线性方程组99

习题100

第七章 空间解析几何102

§1空间直角坐标系103

1.1空间直角坐标系103

1.2点的坐标104

习题105

§2向量代数105

2.1标量与向量105

2.2向量的加减法106

2.3开普勒三定律106

2.4开普勒第二定律的牛顿证明107

2.5向量的数乘运算108

2.7向量的坐标109

2.6向量在轴上的投影109

2.8向量的模与方向余弦110

2.9向量的数量积112

2.10向量的叉乘114

2.11混合积116

习题116

§3平面117

3.1点法式方程117

3.3截距式方程118

3.2一般式方程118

3.4两平面间的关系119

习题119

§4空间中的直线120

4.1直线的参数方程120

4.2直线的标准方程121

4.3直线的一般方程121

4.4三元一次联立方程组的几何解释122

5.1图形与方程123

习题123

§5二次曲面123

5.2球面124

5.3椭球面124

5.4平行截口法125

5.5椭圆抛物面125

5.6单叶双曲面126

5.7双叶双曲面127

5.8双曲抛物面128

5.9二次柱面129

5.10二次锥面130

5.11二次曲面小结131

习题132

第八章 函数与极限133

§1预备知识133

1.1区间133

1.2绝对值133

1.3邻域134

2.2函数概念135

2.1变量与常量135

§2函数135

2.3单调函数136

2.4函数的奇偶性137

2.5反函数138

2.6常数函数与线性函数139

2.7基本初等函数的图形140

2.8复合函数与初等函数144

§3极限概念145

3.1抛物线下的面积145

3.2序列的极限146

3.3切线问题147

3.4函数的极限148

3.5单边极限149

3.6极限的四则运算151

3.7两个重要极限152

习题154

§4再论函数与极限154

4.1函数154

4.2极限156

§1引言157

第九章 导数157

§2预备知识159

2.1△符号159

2.2连续性160

2.3平均变化率161

习题161

§3导数概念162

3.1瞬时速度162

3.3导数定义163

3.2再论切线问题163

3.4可导与连续165

§4导数公式165

4.1常数函数的导数166

4.2函数f（x）＝x的导数166

4.3幂函数的导数166

4.4导数的四则运算167

4.5链锁法则169

4.6高阶导数171

5.1正弦函数172

习题172

§5三角函数的导数公式172

5.2余弦函数173

5.3正切函数173

5.4余切函数173

习题173

§6指数函数与对数函数的导数公式173

6.1对数函数173

6.2指数函数174

7.2反余弦函数175

7.3反正切函数175

6.3幂函数175

7.1反正弦函数175

§7反三角函数的导数公式175

7.4反余切函数176

习题176

§8基本公式表176

8.1基本初等函数的求导公式176

8.2导数运算法则176

§9相对变化率177

习题178

§10微商中值定理178

§11利用导数研究函数180

11.1函数的单调性180

11.2局部极值181

11.3曲线的凹凸183

11.4曲线的渐近线184

11.5函数的图形185

11.6在经济学中的应用187

11.7极值的应用188

习题189

第十章 微分191

§1微分定义191

§2微分公式192

§3基本初等函数微分表193

§4微分的应用194

习题195

5.2导数与微分小结196

5.1导数与微分的概念196

§5再论导数与微分196

第十一章 不定积分198

§1基本概念198

§2不定积分的简单运算法则199

§3基本初等函数的不定积分表200

§4第一换元积分法201

习题203

§5第二换元积分法203

§6分部积分法205

习题205

习题207

第十二章 定积分208

§1定积分的定义208

1.1面积问题208

1.2路程问题209

1.3定积分的定义210

1.4定积分的几何意义211

§2定积分的简单性质212

§3微积分基本定理215

习题217

§4定积分的换元积分法与分部积分法217

4.1换元积分法217

4.2分部积分法219

习题219

§5定积分的应用220

5.1如何建立积分式220

5.2平面图形的面积221

5.3旋转体的体积222

5.4平均值224

5.5变力作功225

习题226

§6再论微分学与积分学227

6.1微分学227

6.2积分学227

第十三章 数学模型229

§1选票分配229

1.1选举悖论230

1.2选票分配问题231

1.3亚拉巴马悖论232

§2体育训练问题233

§3指数增长与衰减问题235

3.1一个简单的微分方程235

3.2人口模型237

3.3考古学中的应用238

3.4牛顿冷却定律240

3.5范·米格伦伪造名画案241

3.6再论人口模型245

3.7新产品销售模型247

习题248

第十四章 数学的地位和作用249

§1数学教育249

1.1关于素质教育249

1.2数学素养249

1.3数学是思维的工具250

1.4数学与美250

1.5数学提供了有特色的思考方式251

1.6数学的特点251

1.7培养四种本领252

1.8数学与就业254

1.9当前科学发展的主要趋势255

§2自然数是万物之母256

2.1数学的重要性256

2.2古希腊的数学256

§3数学与自然科学258

3.1宇宙的和谐258

3.2物理学261

3.3生物学261

4.1数学与西方政治262

§4数学与人文科学262

4.2人口论265

4.3统计方法265

§5数学与艺术266

5.1博里叶的功绩266

5.2数学与绘画267

5.3从艺术中诞生的科学271

§6笛卡儿的方法论及其影响272

附录习题答案与提示274

参考书目280