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第1章 绪论1

1.1 离散数学的研究对象1

1.2 离散数学的主要内容2

1.3 学习离散数学的方法2

第2章 数理逻辑3

2.1 命题4

2.1.1 命题的概念4

2.1.2 命题的表示4

2.2 命题联结词5

2.2.1 联结词的定义6

2.2.2 命题逻辑中联结词的最小集9

2.3 命题的合式公式10

2.3.1 合式公式10

2.3.2 语句的符号化10

2.4 真值表、永真式和永假式11

2.4.1 真值表11

2.4.2 永真式和永假式13

2.5 公式的等价和蕴含14

2.5.1 公式的等价14

2.5.2 公式的蕴含17

2.6 公式的主范式19

2.6.1 主析取范式19

2.6.2 主合取范式22

2.7 命题演算的推理理论23

2.7.1 有效推理的概念24

2.7.2 有效推理的方法24

2.8 命题逻辑和二值逻辑器件27

2.9 一阶谓词逻辑31

2.10 命题函数和个体变量及量词32

2.10.1 命题函数33

2.10.2 量词33

2.11 谓词公式34

2.11.1 谓词公式34

2.11.2 变量的约束和替换36

2.11.3 谓词演算中的等价与蕴含38

2.12 谓词演算的推理理论42

习题45

第3章 集合和关系51

3.1 集合和集合的运算51

3.1.1 集合的基本概念51

3.1.2 集合的运算52

3.1.3 集合运算中的恒等式55

3.1.4 序偶和笛卡儿积57

3.2 关系58

3.2.1 关系及其表示法58

3.2.2 几种特殊的关系61

3.2.3 关系的运算63

3.3 等价关系和集合的划分72

3.3.1 等价关系72

3.3.2 等价关系与划分74

3.4 序关系和哈斯图75

3.4.1 序关系75

3.4.2 偏序关系的哈斯图75

3.4.3 偏序集中的某些特殊元素76

3.5 函数及其运算78

3.5.1 函数的概念78

3.5.2 函数的复合81

3.5.3 逆函数83

习题84

第4章 数函数和递推关系88

4.1 数函数的概念88

4.2 数函数的基本运算88

4.3 数函数的母函数89

4.4 递推关系92

4.4.1 常系数的线性递推关系93

4.4.2 用母函数求解数函数的通式95

习题96

第5章 图论97

5.1 图的基本概念和术语97

5.2 路和回路100

5.3 图的矩阵表示103

5.4 树和生成树106

5.4.1 无向树的概念106

5.4.2 最小生成树107

5.5 有向树及其应用举例108

5.5.1 有向树的概念108

5.5.2 根树的一个应用举例110

5.6 欧拉图与哈密顿图112

5.6.1 欧拉图112

5.6.2 欧拉定理的一个应用举例113

5.6.3 哈密顿图114

5.7 最短路径与最长路径问题116

5.7.1 最短路径116

5.7.2 最长路径118

5.8 平面图122

习题125

第6章 代数系统130

6.1 运算和代数系统130

6.1.1 运算的概念130

6.1.2 运算的性质131

6.2 半群和独异点133

6.3 群和子群135

6.3.1 群的概念135

6.3.2 子群的概念138

6.4 阿贝尔群和循环群139

6.4.1 阿贝尔(Abel)群139

6.4.2 循环群141

6.5 置换群和伯恩赛德定理142

6.5.1 置换群142

6.5.2 伯恩赛德(Burnside)定理144

6.6 陪集和正规子群147

6.7 拉格朗日定理149

6.8 同态、同构和同余150

6.8.1 同态和同构150

6.8.2 同余关系和同态154

6.9 环和域155

习题158

第7章 格与布尔代数162

7.1 偏序集、格和格代数162

7.1.1 偏序和格162

7.1.2 对偶原理164

7.1.3 格的初等性质164

7.1.4 格与代数系统的对应166

7.2 有补格和分配格167

7.3 布尔代数170

7.4 布尔表达式172

7.5 布尔函数的表示及极小化178

7.5.1 布尔函数的表示法178

7.5.2 布尔函数的极小化180

习题183

参考文献186