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1 引论1

1.1 复数1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复数的四则运算2

1.1.3 复平面与复数的不同表示法3

1.1.4 乘幂与方根5

1.1.5 复球面与无穷远点9

1.2 平面点集10

1.2.1 区域10

1.2.2 Jordan曲线、连通区域12

习题15

2 复变函数17

2.1 连续函数17

2.2 解析函数19

2.2.1 复变函数的导数19

2.2.2 解析函数21

2.3 函数解析的充要条件23

2.4 调和函数27

2.4.1 调和函数的概念与实例27

2.4.2 解析函数与调和函数的关系28

2.5 初等解析函数32

2.5.1 指数函数32

2.5.2 对数函数33

2.5.3 幂函数36

2.5.4 三角函数与双曲函数38

习题41

3 复变函数的积分43

3.1 复变函数的积分43

3.1.1 积分的概念43

3.1.2 积分存在的条件及积分的性质44

3.2 Cauchy积分定理49

3.3 Cauchy积分公式52

3.4 解析函数的原函数60

习题64

4 复变函数的级数68

4.1 复数项级数68

4.1.1 复数列的极限68

4.1.2 复数项级数69

4.2 幂级数71

4.2.1 幂级数的概念71

4.2.2 幂级数的性质75

4.3 Taylor级数77

4.4 Laurent级数87

习题96

5 留数及其应用99

5.1 孤立奇点99

5.1.1 可去奇点99

5.1.2 极点101

5.1.3 本性奇点103

5.2 留数的一般理论104

5.2.1 留数定义及留数基本定理104

5.2.2 留数的计算105

5.3 函数在无穷远点的留数110

5.3.1 函数在无穷远点的性质110

5. 3.2 函数在无穷远点的留数111

5.4 留数在定积分计算中的应用115

5.4.1 三角有理式的积分116

5.4.2 有理函数的无穷积分118

5.4.3 有理函数与三角函数乘积的积分121

习题128

6 保角映射131

6.1 映射与保角映射的概念131

6.1.1 映射的概念131

6.1.2 导数的几何意义132

6.1.3 保角映射的概念135

6.1.4 关于保角映射的一般理论136

6.2 分式线性映射137

6.2.1 分式线性映射的基本性质139

6.2.2 惟一确定分式线性映射的条件143

6.2.3 分式线性映射的典型例子145

6.3 几个初等函数所构成的映射149

6.3.1 幂函数w=zn及w=1/zn149

6.3.2 指数函数w=ex和对数函数w=lnz153

6.4 保角映射举例154

习题162

7 积分变换166

7.1 积分变换的一般概念166

7.2 Fourier变换167

7.2.1 Fourier积分公式和Fourier变换167

7.2.2 δ函数及其Fourier变换173

7.3 Laplace变换的概念177

7.3.1 Laplace变换的定义177

7.3.2 周期函数和δ函数的Laplace变换181

7.4 Laplace变换的性质（一）184

7.5 Laplace变换的性质（二）——卷积定理192

7.6 Laplace逆变换196

7.7 Laplace变换的应用202

习题207

附录1 区域的变换表212

附录2 Laplace变换简表222

习题答案228