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第一章 Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理1

1.1 历史与起源1

1.1.1 Birkhoff的一个贡献1

1.1.2 Santilli的总结2

1.1.3 我们的任务2

1.2 Birkhoff方程3

1.2.1 Birkhoff方程的形式3

1.2.2 Birkhoff方程的性质4

1.2.3 Hamilton方程是Birkhoff方程的特例8

1.3 Pfaff-Birkhoff原理9

1.3.1 Pfaff-Birkhoff原理9

1.3.2 Hamilton原理是Pfaff-Birkhoff原理的特例10

1.3.3 Pfaff-Birkhoff原理与Birkhoff方程11

1.4 Birkhoff函数的构造11

1.4.1 Santilli第一方法12

1.4.2 Santilli第二方法13

1.4.4 自治系统Birkhoff函数的构造14

1.4.3 Hojman方法14

1.4.5 算例17

1.5 有关Birkhoff表示的几个问题24

1.5.1 严格规则条件问题24

1.5.2 构造Birkhoff表示的困难25

1.5.3 Birkhoff函数的近似表示28

1.5.4 奇数阶微分方程的Birkhoff表示29

习题33

参考文献35

第二章 完整力学系统的Birkhoff动力学37

2.1 特殊完整系统的Birkhoff动力学37

2.1.1 特殊完整系统的运动方程37

2.1.2 特殊完整系统的正则方程41

2.1.3 正则方程的Birkhoff化42

2.1.4 算例43

2.2 一般完整系统的Birkhof动力学47

2.2.1 一般完整系统的运动方程47

2.2.2 运动方程的显式49

2.2.3 运动方程的Birkhoff化54

2.2.4 算例55

习题60

参考文献61

第三章 非完整力学系统的Birkhoff动力学63

3.1 Чаплыгин系统的Birkhoff动力学63

3.1.1 Чаплыгин系统的运动方程63

3.1.2 Чаплыгин方程的代数结构65

3.1.3 Чаплыгин系统的Helmholtz势67

3.1.4 运动方程的显式68

3.1.5 运动方程的Birkhoff化72

3.1.6 算例73

3.2 一般一阶非完整系统的Birkhoff动力学77

3.2.1 一般一阶非完整系统的运动方程77

3.2.2 运动方程的显式78

3.2.3 非完整约束反力的确定79

3.2.4 非完整系统力学问题归结为有条件的完整系统力学问题80

3.2.5 运动方程的Birkhoff化81

3.2.6 算例82

3.3 高阶非完整系统的Birkhoff动力学84

3.3.1 高阶非完整系统的运动方程84

3.3.2 运动方程的显式85

3.3.3 运动方程的Birkhoff化87

3.3.4 算例88

习题93

参考文献95

4.1.1 Hamilton方程的变换理论96

第四章 Birkhoff系统的积分理论96

4.1 Birkhoff方程的变换理论96

4.1.2 Birkhoff方程的变换理论100

4.1.3 广义正则变换101

4.1.4 算例103

4.2 广义Hamilton-Jacobi方法105

4.2.1 化零广义正则变换105

4.2.2 广义Hamilton-Jacobi方程106

4.2.3 算例107

4.3 Birkhoff系统的Noether理论109

4.3.1 基本定义与判据109

4.3.2 广义Killing方程113

4.3.3 Birkhoff系统的Noether定理117

4.3.4 Birkhoff系统的Noether逆定理120

4.4 积分Birkhoff方程的场方法124

4.4.1 积分运动方程的场方法125

4.4.2 积分Birkhoff方程的场方法125

4.4.3 算例127

4.5 Birkhoff系统的Poisson理论129

4.5.1 Birkhoff系统的广义Poisson括号129

4.5.2 第一积分的广义Poisson条件130

4.5.3 Birkhoff系统的广义Poisson定理131

4.5.4 算例134

习题136

参考文献137

5.1 Birkhoff方程的建立问题140

第五章 Birkhoff系统动力学逆问题140

5.1.1 建立问题的提法和解法141

5.1.2 Birkhoff方程的封闭问题146

5.2 Birkhoff系统的对称与动力学逆问题149

5.2.1 第一种提法和解法149

5.2.2 第二种提法和解法154

5.3 根据Pfaff-Birkhoff-D′Alembert原理组建运动方程156

5.3.1 Pfaff-Birkhoff-D′Alembert原理156

5.3.2 逆问题的提法和解法157

5.3.3 算例158

5.4 广义Poisson方法与动力学逆问题160

5.4.1 广义Poisson条件160

5.4.2 逆问题的提法和解法160

5.4.3 算例160

习题163

参考文献164

6.1 Birkhoff系统的平衡稳定性166

6.1.1 问题的提法和受扰运动方程166

第六章 Birkhoff系统的运动稳定性166

6.1.2 一次近似理论168

6.1.3 Ляпунов直接法169

6.1.4 算例169

6.1.5 平衡状态流形的稳定性174

6.2 Birkhoff系统的运动稳定性176

6.2.1 Birkhoff系统的受扰运动方程176

6.2.2 Birkhoff系统的运动稳定性177

6.2.3 算例178

6.3 约束Birkhoff系统的稳定性181

6.3.1 约束Birkhoff系统的运动方程181

6.3.2 约束Birkhoff系统的平衡稳定性182

6.3.3 约束Birkhoff系统的运动稳定性187

习题192

参考文献194

7.1 Birkhoff方程的代数结构195

7.1.1 几种代数概念195

第七章 Birkhoff系统的代数和几何描述195

7.1.2 Birkhoff方程的相容代数结构197

7.1.3 广义Birkhoff方程的相容代数结构198

7.2 合痕变换和通痕变换的代数显性199

7.2.1 合痕变换199

7.2.2 合痕的例子200

7.2.3 通痕200

7.2.4 通痕的例子201

7.2.5 一阶方程组的合痕变换和通痕变换201

7.3.1 Birkhoff方程的几何描述203

7.3 Birkhoff方程的几何理论203

7.3.2 Birkhoff方程的全局处理205

7.3.3 Birkhoff方程对非局部非有势系统的Lie容许和辛容许推广209

7.3.4 广义Birkhoff系统的几何理论214

7.4 Birkhoff方程的对称性和守恒量216

7.4.1 自由广义Birkhoff系统的对称性和守恒量216

7.4.2 带约束的广义Birkhoff系统的对称性和守恒量222

习题227

参考文献228