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第1章 引语：认识数学思想方法1

1.1 数学方法论概述1

1.2 数学思想方法4

1.2.1 数学思想与数学方法4

1.2.2 数学思想方法与数学教育6

第2章 化归：数学家的求解模式13

2.1 化归的基本思想13

2.1.1 化归的思想实质13

2.1.2 化归的普遍意义15

2.1.3 化归与联想17

2.2 化归策略（一）20

2.2.1 映射法20

2.2.2 构造法29

2.2.3 一般化与特殊化45

2.2.4 等价化与强化59

2.3 化归策略（二）64

2.3.1 重组法64

2.3.2 分治法74

2.3.3 逆变法81

2.3.4 递进（退）法88

第3章 抽象：数学物的创造法则102

3.1 数学的抽象性102

3.1.1 抽象性——数学的本质特点102

3.1.2 数学抽象的特殊性104

3.1.3 数学抽象的客观基础108

3.2 数学抽象的方法119

3.2.1 对数学抽象方法的辩证认识119

3.2.2 数学抽象的基本形式121

3.2.3 数学抽象的基本原则127

3.3 数学抽象定义赏析131

3.3.1 函数与运算132

3.3.2 数的抽象构造135

3.3.3 动力系统139

3.3.4 图灵机141

第4章 公理化：数学理论的“建筑师”146

4.1 数学公理化的思想146

4.1.1 数学公理化方法的历史演进过程146

4.1.2 数学公理化方法的作用和影响152

4.2 数学公理化方法的基本问题157

4.2.1 实质公理化方法与形式公理化方法157

4.2.2 数学公理化方法的逻辑特征159

4.3 几个重要的公理体系165

4.3.1 欧几里得几何公理体系165

4.3.2 希尔伯特几何公理体系167

4.3.3 实数公理体系170

4.3.4 ZF集合论公理系统171

4.4 形式系统简说173

4.4.1 形式语言174

4.4.2 形式语言的语义175

4.4.3 形式语言的推理系统176

4.4.4 证明与定理177

4.4.5 推演177

第5章 合情推理：数学猜想的逻辑引擎179

5.1 合情推理的界定179

5.1.1 合情推理的内涵179

5.1.2 合情推理与演绎推理的关系185

5.2 归纳推理与类比推理例说188

5.2.1 归纳推理189

5.2.2 类比推理199

5.2.3 归纳推理与类比推理的关系212

5.3 合情推理模式217

5.3.1 合情推理基本模式217

5.3.2 合情推理模式的修正与扩充219

5.3.3 两个例子221

第6章 算法：数学发展的机械化之路225

6.1 算法的基本思想225

6.1.1 算法的概念225

6.1.2 数学发展史上的算法思想229

6.2 算法设计的一般方法235

6.2.1 穷举法236

6.2.2 回溯法237

6.2.3 贪心法242

6.2.4 递归法245

6.2.5 递推法251

6.3 算法理论的发展254

6.3.1 可计算性理论254

6.3.2 算法复杂性理论256

第7章 展望：从数学思想方法走向数学观念262

7.1 数学观念的内涵262

7.2 作为教育任务的数学观念265

参考文献278