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第1章 常微分方程两点边值问题的差分解法1

1.1 Dirichlet边值问题1

1.1.1基本微分不等式2

1.1.2解的先验估计式4

1.2差分格式5

1.2.1差分格式的建立7

1.2.2差分格式解的存在性8

1.2.3差分格式的求解9

1.2.4差分格式解的先验估计式13

1.2.5差分格式解的收敛性和稳定性17

1.2.6 Richardson外推法19

1.2.7紧差分格式21

1.3导数边界值问题24

1.3.1差分格式的建立24

1.3.2 差分格式的求解26

小结与拓展30

习题131

第2章 椭圆型方程的差分解法34

2.1 Dirichlet边值问题34

2.2五点差分格式36

2.2.1差分格式的建立36

2.2.2差分格式解的存在性39

2.2.3差分格式的求解39

2.2.4差分格式解的先验估计式43

2.2.5差分格式解的收敛性和稳定性45

2.2.6 Richardson外推法46

2.3紧差分格式49

2.3.1差分格式的建立49

2.3.2差分格式解的存在性50

2.3.3差分格式的求解51

2.3.4差分格式解的先验估计式55

2.3.5差分格式解的收敛性和稳定性58

2.4导数边界值问题59

2.4.1差分格式的建立59

2.4.2差分格式的求解61

2.5双调和方程边值问题64

小结与拓展65

习题266

第3章 抛物型方程的差分解法69

3.1 Dirichlet初边值问题69

3.2向前Euler格式71

3.2.1差分格式的建立73

3.2.2差分格式解的存在性74

3.2.3差分格式的求解74

3.2.4差分格式解的先验估计式76

3.2.5差分格式解的收敛性和稳定性78

3.3向后Euler格式80

3.3.1差分格式的建立81

3.3.2 差分格式解的存在性82

3.3.3差分格式的求解83

3.3.4差分格式解的先验估计式86

3.3.5差分格式解的收敛性和稳定性87

3.4 Richardson格式88

3.4.1差分格式的建立88

3.4.2差分格式的求解89

3.4.3差分格式的不稳定性90

3.5 Crank-Nicolson格式92

3.5.1差分格式的建立92

3.5.2差分格式解的存在性93

3.5.3差分格式的求解94

3.5.4差分格式解的先验估计式97

3.5.5差分格式解的收敛性和稳定性99

3.5.6 Richardson外推法100

3.6紧差分格式102

3.6.1差分格式的建立102

3.6.2差分格式解的存在性104

3.6.3差分格式的求解106

3.6.4差分格式解的先验估计式108

3.6.5差分格式解的收敛性和稳定性109

3.7非抛物线性方程110

3.7.1向前Euler格式111

3.7.2向后Euler格式117

3.7.3 Crank-Nicolson格式122

3.8导数边界值问题130

小结与拓展132

习题3134

第4章 双曲型方程的差分解法143

4.1 Dirichlet初边值问题143

4.2显式差分格式145

4.2.1差分格式的建立145

4.2.2差分格式解的存在性148

4.2.3差分格式的求解148

4.2.4差分格式解的先验估计式151

4.2.5差分格式解的收敛性和稳定性155

4.3隐式差分格式157

4.3.1差分格式的建立157

4.3.2差分格式解的存在性159

4.3.3差分格式的求解162

4.3.4差分格式解的先验估计式163

4.3.5差分格式解的收敛性和稳定性166

4.4紧差分格式168

小结与拓展171

习题4171

第5章 高维方程的交替方向法178

5.1二维抛物型方程的交替方向隐格式178

5.1.1差分格式的建立179

5.1.2差分格式解的存在性181

5.1.3差分格式的求解182

5.1.4差分格式解的先验估计式187

5.1.5 差分格式解的收敛性和稳定性188

5.2二维双曲型方程的交替方向隐格式189

5.2.1差分格式的建立190

5.2.2差分格式解的存在性192

5.2.3差分格式的求解193

5.2.4差分格式解的先验估计式198

5.2.5差分格式解的收敛性和稳定性200

5.3二维抛物型方程的紧交替方向隐格式202

5.3.1差分格式的建立202

5.3.2差分格式解的存在性205

5.3.3差分格式的求解206

5.3.4 差分格式解的先验估计式210

5.3.5差分格式解的收敛性和稳定性211

5.4二维双曲型方程的紧交替方向隐格式213

小结与拓展216

习题5216

第6章 有限元方法简介220

6.1常微分方程边值问题的有限元解法220

6.1.1变分原理221

6.1.2 Ritz-Galerkin方法224

6.1.3有限元方法229

6.2椭圆型方程边值问题的有限元解法237

6.2.1变分原理237

6.2.2 Ritz-Galerkin方法239

6.2.3有限元方法243

6.3抛物型方程初边值问题的有限元解法251

小结与拓展254

习题6254

参考文献256

附录A有限Fourier级数257

A.1有限Fourier级数257

A.2两点边值问题差分解的先验估计式260

A.3抛物型方程第一边值问题差分解的先验估计式262

A.4双曲型方程第一边值问题差分解的先验估计式264

小结与拓展267

附录B Schrodinger方程的差分方法268

B.1 Schrodinger方程及其守恒律268

B.2两层非线性差分格式270

B.2.1差分格式的建立270

B.2.2差分格式解的守恒性和有界性271

B.2.3差分格式解的存在唯一性274

B.2.4差分格式的收敛性276

B.2.5差分格式的迭代解法277

B.3三层线性化差分格式279

B.3.1差分格式的建立279

B.3.2差分格式的可解性280

B.3.3差分格式解的守恒性和有界性281

B.3.4差分格式的收敛性284

B.4紧差分格式286

B.4.1差分格式的建立286

B.4.2差分格式的可解性和收敛性288

小结与拓展291