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第一章　切分原理1

1.1　切分原理Ⅰ及应用1

1.1.1　分域法1

1.1.2　分类法3

1.1.3　迭加法11

1.2　切分原理Ⅱ及其应用19

1.2.1　考虑元素的特殊性分类分划19

1.2.2　考虑位置的特殊性分类分划20

1.2.3　考虑参量的取值范围分类分划23

思考题24

思考题参考解答26

第二章　程序原理32

2.1　程序原理Ⅰ及其应用32

2.1.1　中途点法32

2.1.2　消数法37

2.1.3　消点法41

2.2　程序原理Ⅱ及其应用42

2.2.1　证明排列组合公式43

2.2.2　求解计数问题45

思考题47

思考题参考解答49

第三章　数学归纳法原理55

3.1　运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧55

3.1.1　三个步骤缺一不可55

3.1.2　第一步中的注意事项与技巧56

3.1.3　第二步中的注意事项与技巧58

3.2　数学归纳法的几种其他形式70

3.2.1　第二数学归纳法70

3.2.2　跳跃数学归纳法71

3.2.3　倒推数学归纳法（反向归纳法）72

3.2.4　分段数学归纳法73

3.2.5　二元有限数学归纳法74

3.2.6　双向数学归纳法74

3.2.7　翘翘板数学归纳法75

3.2.8　同步数学归纳法75

3.3　数学归纳法的适度运用76

思考题76

思考题参考解答78

第四章　容斥原理87

4.1　容斥原理Ⅰ与Ⅱ的应用87

4.2　容斥原理Ⅱ的推广及应用92

思考题95

思考题参考解答96

第五章　缩小原理99

5.1　逐步排除，去伪存真99

5.2　灵活推导，逐步逼近100

5.3　提炼特征，寻求规律102

5.4　放缩夹逼，限定范围103

5.5　降维减元，简化处理105

5.6　毛估猜测，检验论证106

5.7　设立主元，缩围击破108

思考题110

思考题参考解答110

第六章　局部调整原理113

6.1　求最（极）值113

6.2　证明不等式115

6.3　论证平衡状态问题119

6.4　等周问题的证明120

6.5　磨光变换123

思考题123

思考题参考解答124

第七章　排序原理127

7.1　积和（方幂）式排序不等式127

7.2　应用排序不等式Ⅰ证不等式128

7.2.1　注意揭示两组数是同序的128

7.2.2　注意多次应用排序不等式Ⅰ129

7.2.3　注意所证不等式的变换131

7.2.4　注意构造新的序列131

7.2.5　运用排序不等式Ⅰ证著名不等式132

7.3　运用排序不等式Ⅰ设计最佳方案134

7.4　排序不等式Ⅰ的拓广形式134

7.5　商式排序不等式140

7.6　排序原理Ⅱ141

思考题142

思考题参考解答143

第八章　配对原理149

8.1　运用配对原理求解数学问题149

8.1.1　利用图形149

8.1.2　利用符号150

8.1.3　利用规律151

8.1.4　抓住特殊元素152

8.1.5　抓住特殊式子153

8.2　运用配对原理，证明两组东西一样多155

思考题156

思考题参考解答157

第九章　关系、映射、反演原理157

9.1　运用换元法解题161

9.1.1　整体代换161

9.1.2　常值代换161

9.1.3　比值代换162

9.1.4　标准量代换（包括平均量代换）162

9.1.5　关于三角形边长命题的“切线长代换”163

9.2　运用反函数法解题163

9.3　运用对数法解题163

9.4　运用坐标法解题164

9.5　运用参数法解题165

9.5.1　量度参数165

9.5.2　增量参数165

9.5.3　参数方程法166

9.6　运用复数法解题168

9.7　运用向量法解题169

9.8　运用母函数法解题171

9.9　运用微分、积分、概率知识法解题172

9.10　运用数字化方法解题172

9.11　运用数学模型法解题174

思考题174

思考题参考解答174

第十章　逆反转换原理176

10.1　逆推法176

10.2　分析法178

10.3　补集法179

10.4　反客为主法180

10.5　取倒数法182

10.6　反证法184

10.7　举反例189

思考题191

思考题参考解答192

第十一章　重叠原理196

11.1　离散型重叠原理及应用196

11.1.1　要善于设计集合197

11.1.2　设计集合的几种常用方法197

11.1.3　通过转化应用重叠原理Ⅱ201

11.1.4　分成几种情形应用重叠原理Ⅱ202

11.1.5　多次连续应用重叠原理Ⅱ202

11.1.6　同一题可划分不同的集合来运用重叠原理Ⅱ解题203

11.1.7　重叠原理Ⅲ、重叠原理Ⅳ的应用例子203

11.1.8　重叠原理Ⅰ的另一种表现形式204

11.2　连续型重叠原理及应用204

11.2.1　平均量重叠原理204

11.2.2　不等式重叠原理207

11.2.3　面积重叠原理208

11.2.4　连续型重叠原理的推广209

思考题210

思考题参考解答210

第十二章　重现原理212

12.1　余数重现原理212

12.1.1　同余在算术中的应用213

12.1.2　利用同余求解末尾几位数码问题215

12.1.3　利用同余处理整数问题216

12.1.4　利用同余的性质证明某些著名定理217

12.2　个位数重现原理218

12.3　映射象重现原理221

12.3.1　分圆多项式221

12.3.2　周期函数224

12.3.3　周期数列229

12.3.4　其他周期现象233

思考题234

思考题参考解答234

第十三章　开关原理237

13.1　奇偶分析法237

13.1.1　末位数问题237

13.1.2　整除性问题239

13.1.3　方程问题239

13.1.4　存在性问题240

13.1.5　探讨性问题242

13.1.6　对弈问题243

13.2　二进位制分析法244

13.3　两个原理的综合应用247

思考题248

思考题参考解答249

第十四章　最小数原理251

14.1　最小数原理Ⅰ及应用251

14.2　最小数原理Ⅱ及应用252

14.2.1　论证存在性问题252

14.2.2　论证唯一性问题252

14.2.3　论证不存在性问题253

14.2.4　论证“除法定理”254

14.2.5　论证数学归纳法原理254

14.2.6　推出归纳公理254

14.3　最小空间角原理及应用255

14.4　最大数原理及应用256

附录　数学归纳法原理另外几种形式的证明258

思考题259

思考题参考解答260

第十五章　最短长度原理262

15.1　最短长度原理Ⅰ及应用262

15.1.1　最佳选点、最佳路径问题262

15.1.2　不等式、最值问题264

15.1.3　覆盖问题265

15.1.4　阿基米德第二公理266

15.2　最短长度原理Ⅱ及应用268

思考题270

思考题参考解答270

第十六章　极端原理272

16.1　解答问题，运用极端原理奠基272

16.2　求解问题，运用极端原理探路274

16.3　定值问题，先用极端原理探求276

16.4　穷举问题，运用极端原理筛选277

16.5　某些规律，运用极端原理发现278

16.6　获得结论对否，运用极端原理检验280

16.7　讨论题解，运用极端原理完善281

思考题282

思考题参考解答283

第十七章　对称原理285

17.1　研究对称获结论285

17.1.1　对称原理Ⅱ及应用285

17.1.2　对称原理Ⅲ及其他288

17.1.3　对称原理Ⅳ290

17.2　看清对称明思路291

17.2.1　看清对称图形291

17.2.2　看清对称式子292

17.2.3　看清对称地位294

17.2.4　看清对称作用295

17.3　联想对称得辅图297

17.4　想到对称得方法298

思考题299

思考题参考解答300

第十八章　相似原理303

18.1　重视相似性推理303

18.1.1　利用相似性，简化解答过程303

18.1.2　注意相似性，应用图形性质304

18.1.3　根据相似性，作出判断、推广305

18.1.4　发现相似性，提高认识水平305

18.1.5　运用相似性，创立新的学说306

18.2　掌握相似性方法306

18.2.1　借助相似性，运用比较法306

18.2.2　捕捉相似性，纵横来类比307

18.2.3　发掘相似性，巧用模式法309

18.2.4　猎取相似性，采用模拟法311

18.2.5　揭示相似性，善用移植法311

18.2.6　把握相似性，优化探索法312

思考题314

思考题参考解答315

第十九章　守恒原理318

19.1　配凑型方法318

19.1.1　配方法318

19.1.2　拆开法320

19.1.3　乘1法326

19.2　代换型方法331

19.2.1　待定系数法331

19.2.2　参量分离法337

19.2.3　化“1”代换法337

19.2.4　等和代换法338

思考题339

思考题参考解答339

第二十章　出人相补原理344

20.1　等形出入相补344

20.2　等积形出入相补346

20.3　数、式出入相补348

思考题350

思考题参考解答351

第二十一章　祖暅原理355

思考题355

思考题参考解答355

第二十二章　不动点原理357

22.1　函数不动点357

22.1.1　利用f（x）的不动点，求f（x）的n次迭代函数的解析式357

22.1.2　利用f（x）的不动点解方程358

22.1.3　利用f（x）的不动点求递推数列的通项359

22.1.4　利用f（x）的不动点求递推数列的极限362

22.1.5　对有无限多个不动点的函数问题的讨论364

22.2　组合不动点365

22.3　几何不动点366

22.4　拓扑不动点367

思考题368

思考题参考解答368

参考文献370

作者出版的相关书籍与发表的相关文章目录371

编后语373