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前言1

第一章 集合论1

引言1

1—1 集合的概念1

一 集合的概念1

二 集合的表示法3

三 集合的基数与分类4

四 集合的图解5

五 集合的相等与包含关系5

六 全集9

习题 1—110

1—2 集合的运算12

一 集合的运算12

二 集合的运算律15

习题 1—219

1—3 集合成员表20

一 集合成员表的构造21

二 集合成员表的应用23

习题 1—325

1—4 幂集与划分25

一 幂集26

二 集合的划分29

习题 1—432

集合论知识结构表35

引言36

第二章 关系36

2—1 关系的基本概念37

一 二元关系37

二 二元关系的几何意义38

三 几个特殊的二元关系40

四 n 元关系41

习题 2—143

2—2 关系的基本性质、关系图和关系矩阵45

一 关系的基本性质45

二 关系图49

三 关系矩阵52

习题 2—254

2—3 关系的运算57

一 关系的交、并、差、补运算57

二 逆关系58

三 复合关系与关系的复合运算60

四 复合关系的矩阵64

五 复合关系的逆运算66

习题 2—368

2—4 关系的闭包运算71

一 关系的闭包概念71

二 求闭包的方法72

习题 2—477

2—5 等价关系79

一 等价关系的概念79

二 等价类83

习题 2—586

一 相容关系的概念87

2—6 相容关系87

二 最大相容类90

三 相容关系与覆盖的联系92

习题 2—694

2—7 序关系95

一 偏序的概念96

二 偏序的哈斯图97

三 偏序集中具有特殊位置的元素101

四 全序104

五 几个特殊的偏序105

习题 2—7106

关系的知识结构表109

第三章 函数110

引言110

3—1 函数的基本概念110

一 函数的概念111

二 在笛卡尔积 A×B 的子集中有多少个不同的函数?113

三 函数的相等与缩小114

四 几种常见的特殊函数115

习题3—1119

3—2 复合函数121

一 复合函数的概念121

二 函数的复合运算律124

三 几个复合函数的特性125

习题3—2127

一 逆函数的概念128

3—3 逆函数128

二 逆函数的性质131

习题3—3134

3—4 无限集的基数136

一 “一一对应关系”是求集合基数的理论基础136

二 可数集及其性质138

三 不可数集及集合基数的比较144

习题3—4147

函数知识结构表149

引言150

第四章 代数系统150

4—1 集合中的代数运算152

一 代数运算的概念152

二 二元代数运算154

三 与集合 A 的二元代数运算有关的 A 的特异元素155

习题4—1158

4—2 代数系统的基本概念和性质164

一 代数系统的概念164

二 代数运算的性质165

三 利用运算表判断代数运算的性质169

习题4—2170

4—3 同构与同态174

一 同构的概念和性质174

二 同态的概念和性质179

习题4—3181

4—4 群183

一 群的基本概念184

二 群的基本性质190

三 子群192

四 几种典型的群194

习题4—4198

4—5 环和域202

一 环的概念202

二 环的性质205

三 子环206

四 几种重要的环207

五 域208

习题4—5210

4—6 格213

一 格的概念213

二 格的性质216

三 格——代数系统221

四 子格223

五 格的积代数、同态和同构224

六 几种特殊格227

习题4—6230

代数系统知识结构表234

第五章 图论235

引言235

5—1 图的基本概念236

一 图论的起源236

二 图的概念237

三 图 G 的结点与边之间的关系的概念240

四 图 G 的分类241

习题5—1243

5—2 图的运算和结点的次数245

一 图的运算245

二 结点次数及其计算248

三 子图和同构图250

习题5—2253

5—3 路径、回路和连通性256

一 路径和回路的概念257

三 结点间的可达性和距离259

二 路径的长度259

四 简单有向图的连通性261

五 无向图中的路径、回路和连通性263

习题5—3264

5—4 图的矩阵表示267

一 邻接矩阵268

二 可达性矩阵273

习题5—4277

一 最优路径的概念280

5—5 最优路径和关键路径280

二 怎样找到从初始结点到终端结点的最优路径?282

三 最优路径在工程技术中的应用284

习题5—5288

5—6 欧拉图与哈密尔顿图292

一 欧拉图292

二 哈密尔顿图299

习题5—6309

5—7 树312

一 无向树313

二 无向图的生成树和最小树314

三 有向树318

四 二元树320

五 最优树323

习题5—7325

5—8 平面图328

一 平面图的概念329

二 平面图的面330

三 平面图的判定332

四 平面图的应用336

习题5—8340

图论知识结构表345

第六章 命题逻辑346

引言346

6—1 命题与命题联结词347

一 命题的概念347

三 命题的分类349

二 命题的标识符349

四 命题联结词351

习题6—1356

6—2 命题公式、真值表和翻译358

一 命题公式358

二 真值表360

三 命题的翻译363

习题6—2365

6—3 永真式、永假式和互为等价的公式367

一 永真式和永假式367

二 命题公式间的等价关系及其性质369

三 基本等价公式——命题定律371

四 代入规则和置换规则373

五 求证两个公式等价的方法375

习题6—3376

6—4 公式的对偶式和公式间的蕴涵关系378

一 公式的对偶式378

二 命题公式间的蕴涵关系及其性质381

三 怎样判断两个命题公式间是否存在永真蕴涵关系?382

四 基本永真蕴涵式383

五 蕴涵式、等价式和永真式有关的相互关系384

习题6—4386

6—5 命题联结词的扩充与最小联结词组388

一 命题联结词的扩充388

二 联结词“与非”和“或非”的性质389

三 联结词“异或”的性质391

四 最小联结词组393

习题6—5394

6—6 公式的范式396

一 基本积与基本和396

二 合取范式与析取范式397

三 利用析取范式与合取范式进行公式的判定398

四 公式的析取范式与合取范式的不唯一性400

习题6—6401

一 主析取范式402

6—7 公式的主范式402

二 主合取范式406

三 主范式的应用409

习题6—7411

6—8 命题演算的推理理论412

一 推理的基本概念和规则412

二 判断有效结论的方法414

习题6—8420

命题逻辑知识结构表423

引言424

第七章 谓词逻辑424

7—1 谓词逻辑的基本概念425

一 客体、谓词和命题的谓词表达式425

二 命题函数427

三 量词429

四 自然语言中，哪些词是客体?谓词?量词?432

习题7—1433

一 谓词公式434

7—2 谓词公式与翻译434

二 约束变元和自由变元436

三 谓词逻辑的翻译440

习题7—2443

7—3 谓词公式的永真式、永假式和蕴涵式445

一 谓词公式的永真式、永假式和蕴涵式的概念445

二 判定方法和基本公式446

习题7—3451

7—4 谓词公式的范式452

一 谓词公式的多重量化452

二 前束范式454

三 斯柯林范式456

习题7—4457

7—5 谓词逻辑的推理理论458

一 四个与量词有关的推理规则459

二 谓词逻辑中推理的论证460

三 谓词逻辑演算中常见的错误465

习题7—5468

谓词逻辑知识结构表470

第八章 组合数学初步471

引言471

8—1 两个基本原理472

一 加法原理及其特性472

二 乘法原理及其特性473

习题8—1474

8—2 排列475

一 排列476

二 比较复杂的排列应用题常用基本解法477

三 受限排列问题的解法480

习题8—2481

8—3 圆排列和重复排列483

一 圆排列483

二 重复排列485

三 对按属性分组的 n 个事物的排列数的计算486

习题8—3488

8—4 组合490

一 组合490

二 组合的性质492

三 比较复杂的组合问题常用基本解法494

习题8—4495

8—5 解排列组合问题的基本思路498

一 排列组合混合问题的求解498

二 解排列组合问题的基本思路499

习题8—5502

8—6 鸽巢原理505

一 鸽巢原理505

二 应用鸽巢原理解题举例506

三 鸽巢原理的一般形式509

习题8—6510

组合数学知识结构表512

符号表513

习题解答与提示518