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第一章 绪论1

1.1 微分方程的概念与实例1

一、微分方程的概念1

二、微分方程的实例2

三、微分方程具有广泛的社会实践性12

四、学习微分方程的几点要求12

习题1.113

1.2 微分方程的大致分类与基本概念14

一、微分方程的大致分类14

二、微分方程的一些基本概念16

习题1.225

本章学习小结27

一、可分离变量方程29

2.1 可分离变量方程与变量变换29

第二章 一阶微分方程的初等解法29

二、可化为可分离变量的方程类型33

三、应用实例44

习题2.151

2.2 线性方程与可化为线性方程的方程53

一、一阶线性方程53

二、可化为一阶线性方程的贝努利(Bernoulli)方程60

习题2.263

2.3 恰当方程与积分因子64

一、恰当方程64

二、积分因子74

习题2.389

一、一阶隐方程的概念与求解思路92

2.4 一阶隐方程92

二、各类型一阶隐方程的解法93

习题2.4108

本章学习小结108

习题113

第三章 一阶微分方程的初值问题的解的若干问题115

3.1 一阶方程初值问题解的存在唯一性117

一、方程？＝f(x，y)的初值问题解的存在唯一性117

二、方程F(x，y，y′)＝0的初值问题解的存在唯一性130

三、初值问题解的存在唯一性定理的某些应用132

四、存在唯一性定理引出的问题135

习题3.1149

一、问题的提出151

3.2 解的延拓151

二、初值问题解的延拓152

习题3.2157

3.3 初值问题的解的性质157

一、初值问题的解是自变量、初值的三元函数157

二、初值问题的解关于初值的一些基本性质158

习题3.3171

本章学习小结172

第四章 高阶微分方程175

4.1 线性微分方程的一般理论175

一、n阶线性微分方程概述175

二、n阶齐次线性方程解的性质以及通解的结构178

三、n阶非齐次线性方程解的性质以及通解的结构188

习题4.1198

一、常系数齐次线性方程和欧拉方程的解法201

4.2 常系数线性方程的解法201

二、常系数非齐次线性方程的解法213

习题4.2274

4.3 高阶方程的降阶解法和幂级数解法276

一、降阶解法277

二、微分方程的初值问题的幂级数解法和广义幂级数解法286

三、应用实例297

习题4.3300

本章学习小结301

一、关于解的性质301

二、关于求解方法302

5.1 线性微分方程组的初值问题的解的存在唯一性304

第五章 线性微分方程组304

一、等价性与一般性305

二、一阶线性微分方程组的初值问题解的存在唯一性315

习题5.1325

5.2 线性微分方程组的一般求解理论326

一、一阶齐次线性微分方程组的解的性质及通解的结构326

二、一阶非齐次线性微分方程组的解的性质及通解的结构339

习题5.2350

5.3 常系数线性微分方程组353

一、矩阵指数函数eAr的定义和性质354

二、基解矩阵的计算361

三、高阶常系数线性微分方程组及其初值问题的直接解法401

习题5.3406

本章学习小结408

第六章 稳定性理论问题414

6.1 基本概念414

一、稳定性概念的提出414

二、稳定性的严格定义424

三、运用稳定性的定义讨论方程或方程组的常数特解的稳定性426

习题6.1427

6.2 二阶及二阶以上的n阶常系数线性驻定方程组的奇点类型及零解的稳定性428

一、二阶驻定方程组的奇点及其类型428

二、n阶常系数驻定线性方程组零解的稳定性455

习题6.2459

6.3 n阶非线性驻定方程组零解的稳定性460

一、按第一近似确定稳定性461

二、李雅普诺夫第二方法467

三、含有时间t的n阶非驻定方程组的零解的稳定性482

习题6.3486

6.4 二阶驻定方程组的周期解与极限圈488

一、二阶驻定方程组的极限圈的概念488

二、极限圈的稳定性的概念489

三、寻求方程组(6.23)的极限圈存在的方法493

四、研究极限圈及其稳定性问题的实际意义497

习题6.4500

6.5 二次型V函数的构造与一类控制系统的绝对稳定性502

一、二次型V函数的构造502

二、一类非线性微分方程组的解的全局渐近稳定性与这类方程组的绝对稳定性511

习题6.5523

本章学习小结524

答案527