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第一篇 微积分1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法1

内容概要与重难点提示1

考核知识要点讲解1

一、 函数1

二、 极限的概念与性质4

三、 极限存在性的判别5

四、 无穷小及其阶8

五、 函数的连续性及其判断10

六、 求极限的方法14

常考题型归纳及解题方法与技巧23

题型（一）求反函数23

题型（二）求复合函数24

题型（三）利用函数概念求函数表达式24

题型（四）示0-0型或∞∞型的极限25

题型（五）求0·∞或∞-∞的极限27

题型（六）求指数型（1∞，00，∞0）的极限29

题型（七）求含变限积分的不定式的极限30

题型（八）由极限值确定函数式中的参数31

题型（九）求含参变量的极限33

题型（十）求无穷多项和与无穷多项积的极限34

题型（十一）利用函数极限求序列极限35

题型（十二）无穷小的比较与无穷小的阶的确定35

题型（十三）讨论函数的连续性与间断点的类型37

题型（十四）综合题39

题型训练及参考答案41

考核知识要点讲解44

一、 一元函数的导数与微分44

第二章 导数与微分概念及其计算44

内容概要与重难点提示44

二、 基本初等函数导数表与导数四则运算法则48

三、 复合函数的微分法则49

四、 由复合函数求导法则导出的微分法则49

五、 分段函数求导法52

七、 多元函数的偏导数与全微分57

题型（一）有关一元函数的导数与微分概念的命题63

常考题型归纳及解题方法与技巧63

题型（二）用导数定义求某些函数极限67

题型（三）求一元各类函数的导数与微分68

题型（五）求一元函数的n阶导数74

题型（六）一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论75

题型（七）求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分77

题型（八）有关多元函数的综合题84

题型训练及参考答案84

考核知识要点讲解87

一、 原函数与不定积分的概念及基本性质87

第三章 一元函数的积分及其计算87

内容概要与重难点提示87

二、 定积分的概念与基本性质、基本定理89

三、 不定积分的计算92

四、 定积分的计算106

五、 广义积分109

六、 二重积分的概念与计算111

题型（一）有关原函数与定积分概念的命题114

常考题型归纳及解题方法与技巧114

题型（二）积分值的比较或判断积分值的符号116

题型（三）估计积分值116

题型（四）求分段函数的原函数117

题型（五）各类被积函数不定积分的计算118

题型（六）各类被积函数定积分的计算121

题型（七）利用若干积分技巧计算积分123

题型（八）由函数方程求积分129

题型（九）广义积分的计算129

题型（十）有关二重积分中对称性与比较定理的应用的命题131

题型（十一）二重积分的计算132

题型（十二）关于变限积分的讨论139

题型（十三）证明题与综合题141

题型训练及参考答案148

第四章 几个重要定理及其应用150

内容概要与重难点提示150

考核知识要点讲解150

一、 连续函数的性质150

二、 微分中值定理和积分中值定理152

三、 利用导数研究函数的变化153

四、 微分中值定理的其它应用159

五、 多元函数极值判别法159

常考题型归纳及解题方法与技巧160

题型（一）有关连续函数性质的命题160

题型（二）用微分学的方法证明不等式163

题型（三）有关利用导数研究函数性态的命题168

题型（四）微分中值型的命题及相关问题173

题型训练及参考答案178

第五章 微积分学的应用180

内容概要与重难点提示180

考核知识要点讲解180

一、 微分学的几何应用与经济应用180

二、 定积分的几何应用183

三、 定积分的简单经济应用186

四、 一元函数的最大值与最小值问题187

五、 多元函数的最大值与最小值问题188

题型（一）导数和定积分的几何应用190

常考题型归纳及解题方法与技巧190

题型（二）一元函数的最值问题193

题型（三）多元函数的最值问题196

题型（四）综合题198

题型训练及参考答案200

第五章 无穷级数201

内容概要与重难点提示201

考核知识要点讲解201

一、 常数项级数的概念与基本性质201

二、 正项级数敛散性的判定202

三、 交错级数的敛散性判别法204

四、 绝对收敛与条件收敛204

五、 函数项级数的收敛域与和函数205

六、 幂级数的收敛域206

七、 幂级数的运算与和函数的性质207

八、 函数的幂级数展开208

常考题型归纳及解题方法与技巧209

题型（一）常数项级数敛散性的判定209

题型（二）求一般函数项级数的收敛域217

题型（三）幂级数有关问题的讨论218

题型（四）常数项级数求和223

题型（五） 证明题与综合题224

题型训练及参考答案227

第七章 常微分方程与差分方程229

内容概要与重难点提示229

考核知识要点讲解229

一、 基本概念229

二、 一阶微分方程230

四、 二阶常系数非齐次线性方程231

三、 二阶常系数齐次线性方程231

五、 差分的概念及其性质232

六、 一阶常系数线性差分方程233

七、 应用问题（后面将通过具体例子讲解）234

常考题型归纳及解题方法与技巧234

题型（一）变量可分离的方程与齐次方程的求解234

题型（二）一阶线性方程的求解235

题型（三）二阶常系数线性方程的求解237

题型（四）综合题与证明题239

题型（五）差分与差分方程的求解242

题型（六）微分方程与差分方程应用问题243

题型训练及参考答案245

第二篇 线性代数248

第一章 行列式248

内容概要与重难点提示248

考核知识要点讲解248

一、 行列式的概念、展开公式及其性质248

题型（一）有关行列式的概念与性质的命题252

二、 常考题型归纳及解题方法与技巧252

题型（二）数字型行列式的计算255

题型（三）抽象行列式的计算259

题型（四）含参数行列式的计算260

题型训练及参考答案262

第二章 矩阵及其运算264

内容概要与重难点提示264

考核知识要点讲解264

一、矩阵的概念及几类特殊方阵264

二、矩阵的运算266

四、 初等变换267

五、 初等矩阵267

三、 矩阵可逆的充分必要条件267

六、 矩阵等价的概念及充分必要条件268

七、 矩阵方程268

常考题型归纳及解题方法与技巧268

题型（一）有关矩阵的概念及运算268

题型（二）求方阵的幂270

题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵273

题型（四）有关初等矩阵的命题274

题型（五）关于伴随矩阵的命题275

题型（六）矩阵可逆的计算与证明276

题型（七） 求解矩阵方程280

题型训练及参考答案282

考核知识要点讲解285

一、 n维向量的概念与运算285

内容概要与重难点提示285

第三章 n维向量与向量空间285

二、 线性组合与线性表出286

三、 线性相关与线性无关287

四、 线性相关性与线性表出的关系288

五、 向量组的秩与矩阵的秩的关系288

六、 矩阵秩的重要公式288

常考题型归纳及解题方法与技巧289

题型（一）线性组合、线性相关的判别289

题型（二）线性相关与线性无关的证明293

题型（三）求秩与极大线性无关组296

题型（四）有关秩的证明299

题型（五）关于A=0的证明300

题型训练及参考答案301

第四章 线性方程组304

内容概要与重难点提示304

考核知识要点讲解304

一、 线性方程组的各种表达形式304

二、 基础解系的概念及其求法304

五、 非齐次线性方程组解的结构305

三、 齐次方程组有非零解的判定305

四、 非齐次线性方程组有解的判定305

六、 克莱姆（Cramer）法则306

常考题型归纳及解题方法与技巧306

题型（一）线性方程组解的基本概念306

题型（二）线性方程组的求解309

题型（三）含有参数的方程组解的讨论310

题型（四）有关基础解系的证明312

题型（五）有关线性方程组命题的证明315

题型训练及参考答案317

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量320

内容概要与重难点提示320

考核知识要点讲解320

一、 矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法320

二、 相似矩阵的概念与性质321

三、 矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤322

常考题型归纳及解题方法与技巧323

题型（一）求矩阵的特征值和特征向量323

题型（二）用特征值和特征向量反求矩阵A327

题型（三）求矩阵A中的参数329

题型（四）n阶矩阵A能否对角化的判定331

题型（五）求矩阵A的相似标准形332

题型（六）求相似时的矩阵P333

题型（七）相似对角化的应用335

题型（八）有关实对称矩阵的命题336

题型（九）有关特征值与特征向量的证明337

题型训练及参考答案339

考核知识要点讲解341

一、 二次型的概念及其标准形341

第六章 二次型341

内容概要及参考答案341

二、 合同矩阵及正定矩阵342

常考题型归纳及解题方法与技巧343

题型（一）有关二次型基本概念的命题343

题型（二）化二次型为标准形345

题型（三）求解二次型标准形的逆问题348

题型（六）有关正定性矩阵的综合题350

题型（五）有关正定性的证明350

题型训练及参考答案351

第三篇 概率统计351

第一章 随机事件与概率353

内容概要与重难点提示353

考核知识要点讲解353

一、 随机事件的关系与运算353

二、 随机事件的概率355

三、 条件概率与全概率公式356

四、 事件的独立性与伯努利公式358

常考题型归纳及解题方法与技巧359

题型（一）随机事件间的关系与运算359

题型（二）有关概率的概念与性质的命题360

题型（三）利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率364

题型训练及参考答案367

考核知识要点讲解371

一、 随机变量与分布函数371

内容概要与重难点提示371

第二章 随机变量的分布与数字特征371

二、 离散性随机变量与连续型随机变量372

三、 几个常见分布373

四、 随机变量函数的分布的求法376

五、 一维随机变量的数字特征378

常考题型归纳及解题方法与技巧379

题型（一）确定随机变量概率分布中的未知参数379

题型（二）确定随机变量的概率分布381

题型（三）求随机变量函数的分布384

题型（四）随机变量数字特征的计算388

题型（五）综合应用题390

题型训练及参考答案394

第三章 二维随机变量的联合分布及其数字特征398

内容概要与重难点提示398

考核知识要点讲解398

一、 二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数398

二、 二维离散型随机变量399

三、 二维连续型随机变量400

四、 二维随机变量的条件分布401

五、 两个常见的二维连续型随机变量的分布402

六、 二维随机变量的协方差、相关系数与相互独立性403

七、 随机变量的矩405

八、 二维随机变量函数的分布的求法405

常考题型归纳及解题方法与技巧406

题型（一）有关概率分布的计算406

题型（二）有关分布函数及密度函数的命题410

题型（三）求两个随机变量函数的分布413

题型（四）关于数字特征的命题417

题型（五）应用题与综合题425

题型训练及参考答案427

第四章 大数定律和中心极限定理431

内容概要与重难点提示431

考核知识要点讲解431

一、 大数定律431

二、 中心极限定理432

常考题型归纳及解题方法与技巧433

题型（一）有关切比雪夫不等式与大数定律的命题433

题型（二）有关中心极限定理的应用的命题435

题型训练及参考答案439

内容概要与重难点提示442

考核知识要点讲解442

一、 总体、样本、样本的数字特征442

第五章 数理统计的基本概念442

二、 统计量及抽样分布443

常考题型归纳及解题方法与技巧446

题型训练及参考答案449

考核知识要点讲解451

一、 统计估计451

内容概要与重难点提示451

第六章 参数估计和假设检验451

二、 假设检验454

常考题型归纳及解题方法与技巧456

题型（一）最大似然估计与矩估计456

题型（二）点估计的无偏性与有效性458

题型（三）正态总体期望与方差的区间估计461

题型（四）正态总体期望与方差的假设检验462

题型训练及参考答案464