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目 录1

最重要的符号和公式标记1

第一章引言1

1.1 文献概述2

1.2 非线性动力学系统的数学描述4

1.3 本书的目的5

1.4 本书的内容6

第二章数学基础8

2.1 基本概念8

2.2 线性系统14

2.3 不变子空间15

2.4.1 奇点16

2.4 非线性系统16

2.4.2 奇点的分类18

2.5 线性映射和非线性映射20

2.6 Poincaré映射22

2.7 点映射的周期解和不动点23

2.7.1 点映射的稳定性25

2.7.2 不动点的分类28

2.8 渐近性态31

2.8.1 极限点和极限集31

2.8.2 吸引域的分析确定33

2.8.3 关于吸引域的数值确定34

第三章保守系统35

3.1 Hamilton运动方程36

3.2 作用－角度变量38

3.3 可积系统和不可积系统39

3.4 正则摄动理论41

3.5 保面积映射的混沌性态45

3.5.1 不稳定环面45

3.5.2 同宿点和混沌性态46

3.6 高维Hamilton系统的稳定性48

3.7Hénon-Heiles系统49

第四章非保守系统52

4.1 吸引子53

4.1.1 体积收缩53

4.1.2 吸引子的定义54

4.2 吸引子的定性变化56

4.2.1 周期倍化57

4.2.2 Hopf分叉59

4.2.3 鞍点型分叉（切分叉）及其间歇性60

4.2.4 所述分叉情景的总结60

4.3 吸引子的特征刻划61

4.3.1 时间历程62

4.3.2 功率谱62

4.3.3 Ljapunov指数62

4.3.4 维数63

4.3.5 特征标志的总结63

4.4 非自治系统：Duffing方程的变形64

第五章基本研究方法69

5.1 近似方法概述69

5.1.1 摄动计算70

5.1.2 平均方法71

5.2 通过数值积分得到时间历程和相图72

5.3 点映射72

5.4 由Fourier分析求出功率谱74

5.5 Ljapunov指数75

5.5.1 一维Ljapunov指数75

5.5.2 高维Ljapunov指数78

5.5.3点映射的Ljapunov指数79

5.5.4 关于Ljapunov指数的说明80

5.6 维数81

5.7 熵和短朗性态预测82

5.8 数值结果的评估84

5.9 非自治系统：Duffing方程的变形85

第六章胞映射方法91

6.1 状态空间的离散化92

6.2 简单胞映射方法93

6.2.1 平衡胞94

6.2.2 周期胞94

6.2.3 吸引域95

6.2.4 关于算法的说明95

6.2.5 简单胞映射的性质96

6.2.6 简单胞映射的例子97

6.3 广义胞映射方法98

6.4 关于Markov链理论101

6.4.1 Markov链理论中的一些定义101

6.4.1.3 周期102

6.4.1.1 n步转移概率102

6.4.1.2 胞的互通102

6.4.1.4 胞的特征刻划103

6.4.1.5 把胞空间S分解为若干集合103

6.4.2 胞映射的范式104

6.4.3 持久集的长期性态105

6.4.3.1 非循环持久集105

6.4.3.2 周期持久集107

6.4.4 暂时胞的长期性态111

6.4.4.1 吸收概率112

6.4.4.2 期望吸收时间114

6.4.4.3 Gauss-Seidel迭代115

6.5.1 映射矩阵的确定116

6.5 关于广义胞映射的算法和性质的说明116

6.5.2 映射矩阵的编码118

6.5.3 广义胞映射的性质118

6.6 广义胞映射的例子119

6.6.1 自治系统119

6.6.2 非自治系统123

6.7 应用胞映射方法的经验126

6.7.1 简单胞映射方法127

6.7.2 广义胞映射方法128

6.7.3 关于吸引子重要结果的综述131

第七章总结132

参考文献135

索引144