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第1章 函数与极限1

1．1集合与函数1

1．1．1集合1

1．1．2函数与映射4

1．1．3函数的四则运算8

1．1．4基本初等函数与初等函数9

1．1．5几种具有特殊性质的函数10

历史的回顾13

历史人物简介13

习题1-1（A）15

习题1-1（B）16

1．2极限17

1．2．1极限的定义18

1．2．2极限的性质28

1．2．3数学建模的实例——圆周率的计算35

历史的回顾36

历史人物简介37

习题1-2（A）39

习题1-2（B）40

1．3极限存在准则 两个重要极限41

1．3．1准则1夹逼准则及重要极限？41

1．3．2准则2单调有界数列必有极限43

习题1-3（A）45

习题1-3（B）46

1．4无穷小量与无穷大量47

1．4．1无穷小量47

1．4．2无穷大量51

历史的回顾53

历史人物简介54

习题1-4（A）55

习题1-4（B）56

1．5函数的连续性及间断点57

1．5．1函数的连续性57

1．5．2函数的间断点59

习题1-5（A）61

习题1-5（B）62

1．6初等函数的连续性与连续函数的性质62

1．6．1连续函数的运算性质62

1．6．2初等函数的连续性64

1．6．3闭区间上的连续函数的性质66

习题1-6（A）69

习题1-6（B）69

1．7利用数学软件求极限70

习题1-772

总习题172

第2章 导数与微分75

2．1导数与微分的概念75

2．1．1导数的概念75

2．1．2微分的概念80

2．1．3可导与可微、可导与连续之间的关系82

2．1．4微分的几何意义84

历史的回顾84

历史人物简介85

习题2-1（A）86

习题2-1（B）87

2．2函数的求导法则与一阶微分形式的不变性87

2．2．1函数的和、差、积、商的求导法则87

2．2．2反函数的求导法则89

2．2．3复合函数的导数91

2．2．4一阶微分形式的不变性93

2．2．5基本初等函数求导公式94

习题2-2（A）95

习题2-2（B）97

2．3高阶导数97

习题2-3（A）100

习题2-3（B）100

2．4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数101

2．4．1隐函数的导数101

2．4．2由参数方程所确定的函数的导数105

2．4．3数学建模的实例——相关变化率108

习题2-4（A）109

习题2-4（B）110

2．5利用数学软件求导数111

习题2-5113

总习题2113

第3章 微分中值定理及导数的应用115

3．1微分中值定理115

3．1．1罗尔定理115

3．1．2拉格朗日中值定理118

3．1．3柯西中值定理121

历史人物简介122

习题3-1（A）124

习题3-1（B）124

3．2洛必达法则125

3．2．1 0/0型不定式125

3．2．2 ∞/∞型不定式128

3．2．3其他不定式129

习题3-2（A）130

习题3-2（B）131

3．3泰勒中值定理132

3．3．1泰勒公式132

3．3．2泰勒展开式的应用举例138

习题3-3（A）140

习题3-3（B）141

3．4函数的单调性与极值141

3．4．1函数单调性的判别法141

3．4．2函数极值与最值的求法144

习题3-4（A）150

习题3-4（B）151

3．5曲线的凸性、渐近线与图形的描绘152

3．5．1曲线的凸性与拐点153

3．5．2渐近线156

3．5．3函数图形的描绘158

习题3-5（A）159

习题3-5（B）160

3．6曲率161

3．6．1弧微分161

3．6．2曲率162

3．6．3曲率圆与曲率半径164

习题3-6（A）165

习题3-6（B）166

3．7方程的近似解166

3．7．1二分法167

3．7．2切线法168

习题3-7（A）169

总习题3170

第4章 不定积分173

4．1不定积分的概念与性质173

4．1．1原函数与不定积分的概念173

4．1．2基本不定积分表176

4．1．3不定积分的性质176

习题4-1（A）178

习题4-1（B）179

4．2换元积分法179

4．2．1第一换元积分法（凑微分法）179

4．2．2第二换元法187

习题4-2（A）192

习题4-2（B）193

4．3分部积分法194

习题4-3（A）199

习题4-3（B）200

总习题4200

第5章 定积分及其应用203

5．1定积分的概念与性质203

5．1．1两个实例203

5．1．2定积分的定义205

5．1．3定积分的几何意义207

5．1．4定积分的性质207

历史人物介绍210

习题5-1（A）211

习题5-1（B）212

5．2微积分基本公式213

5．2．1变上限定积分213

5．2．2牛顿-莱布尼兹公式215

历史的回顾217

历史人物简介218

习题5-2（A）219

习题5-2（B）220

5．3定积分的换元法与分部积分法221

5．3．1定积分的换元积分法221

5．3．2定积分的分部积分法226

习题5-3（A）227

习题5-3（B）229

5．4广义积分229

5．4．1无穷（限）积分230

5．4．2瑕积分（无界函数的积分）232

习题5-4（A）235

习题5-4（B）235

5．5定积分的应用236

5．5．1平面图形的面积236

5．5．2关于定积分应用的微元法239

5．5．3平行截面面积为已知的立体的体积240

5．5．4平面曲线的弧长243

5．5．5定积分在物理学上的应用245

5．5．6数学建模的实例——不允许缺货的存储模型247

历史人物介绍248

习题5-5（A）249

习题5-5（B）251

5．6利用软件求积分252

总习题5254

第6章 微分方程258

6．1微分方程的基本概念258

6．1．1几个微分方程的实例258

6．1．2基本概念259

习题6-1（A）262

习题6-1（B）263

6．2一阶微分方程263

6．2．1变量可分离的方程263

6．2．2齐次方程266

6．2．3一阶线性微分方程268

6．2．4伯努利方程271

6．2．5一阶微分方程的应用举例272

6．2．6数学建模的实例——单种群数量变化的数学模型275

习题6-2（A）276

习题6-2（B）277

6．3可降阶的高阶微分方程278

6．3．1 y （n）＝f （x）型278

6．3．2 y″＝f （x，y′）型279

6．3．3 y″＝f （y，y′）型280

6．3．4数学建模的实例——悬链线问题282

习题6-3（A）283

习题6-3（B）284

6．4线性微分方程解的结构284

6．4．1 n阶线性微分方程285

6．4．2线性齐次微分方程的解的结构285

6．4．3线性非齐次微分方程的解的结构287

习题6-4（A）288

习题6-4（B）288

6．5常系数线性微分方程288

6．5．1常系数线性齐次方程289

6．5．2常系数线性非齐次方程292

6．5．3数学建模的实例296

习题6-5（A）299

习题6-5（B）299

历史回顾300

6．6利用软件求解微分方程301

总习题6301

附录1 Maple软件简介304

附录2 习题参考答案317