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第一章 函数、极限与连续1

第一节 函数的概念1

一、邻域1

二、函数的概念2

三、函数的常用表示法3

四、函数关系的建立4

五、反函数5

六、函数的基本性态6

第二节 初等函数8

一、基本初等函数8

二、复合函数11

三、初等函数12

四、双曲函数与反双曲函数12

第三节 极限的概念14

一、数列极限的定义14

二、函数极限的定义17

第四节 无穷小与无穷大20

一、无穷小20

二、无穷小与函数极限的关系20

三、无穷大21

四、无穷小与无穷大的关系21

第五节 极限的四则运算法则22

一、极限的四则运算法则22

二、法则应用举例23

第六节 两个重要极限28

一、第一个重要极限28

二、第二个重要极限30

第七节 无穷小的运算与比较31

一、无穷小的运算性质31

二、无穷小的比较33

第八节 函数的连续性与间断点37

一、函数的连续性37

二、函数的间断点39

第九节 连续函数的运算与性质41

一、连续函数的和、差、积、商的连续性41

二、复合函数的连续性41

三、初等函数的连续性41

四、闭区间上连续函数的性质42

第二章 导数与微分45

第一节 导数的概念45

一、导数的定义45

二、函数的可导性与连续性的关系49

三、导数的几何意义50

四、导数的物理意义51

第二节 函数的求导法则53

一、函数的和、差、积、商的求导法则53

二、复合函数的求导法则55

三、导数基本公式和基本求导法则56

第三节 高阶导数59

一、高阶导数的概念59

二、求高阶导数的方法59

三、二阶导数的力学意义62

第四节 函数的微分63

一、微分的定义63

二、函数可微的条件64

三、微分基本公式与微分运算法则65

第五节 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法69

一、隐函数的微分法69

二、对数微分法71

三、由参数方程所确定的函数的微分法72

第三章 导数的应用76

第一节 微分中值定理76

一、罗尔定理76

二、拉格朗日中值定理77

三、柯西中值定理79

第二节 洛必达法则81

第三节 函数的单调性及其极值87

一、函数的单调性87

二、函数的极值及其求法89

第四节 曲线的凹凸性与拐点93

一、曲线凹凸性的定义93

二、曲线凹凸性的判定94

三、拐点的求法96

第五节 函数图形的描绘97

一、渐近线98

二、函数图形的描绘99

第六节 函数的最值101

第四章 不定积分104

第一节 不定积分的概念与性质104

一、原函数与不定积分的概念104

二、不定积分的性质106

三、基本积分表106

四、直接积分法107

第二节 换元积分法109

一、第一换元积分法（凑微分法）109

二、第二换元积分法116

三、其他换元积分法119

四、积分表续121

第三节 分部积分法123

第四节 积分表的使用128

第五章 定积分131

第一节 定积分的概念与性质131

一、引例131

二、定积分的概念134

三、定积分的几何意义136

四、定积分的性质136

第二节 微积分基本公式140

一、积分上限的函数及其导数140

二、牛顿—莱布尼茨公式143

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法146

一、定积分换元积分法146

二、定积分分部积分法149

第四节 反常积分152

一、无穷区间的反常积分153

二、无界函数的反常积分155

第六章 定积分的应用158

第一节 定积分的元素法158

第二节 平面图形的面积160

一、直角坐标系下平面图形的面积160

二、极坐标系下平面图形的面积163

第三节 体积165

一、旋转体的体积165

二、平行截面面积为已知的立体的体积167

第四节 定积分的物理应用169

一、功169

二、液体的压力170

第七章 微分方程172

第一节 微分方程的基本概念172

一、微分方程的概念172

二、微分方程的解173

第二节 可分离变量的微分方程与齐次方程175

一、可分离变量的微分方程176

二、齐次方程179

第三节 一阶线性微分方程181

一、一阶线性齐次方程的解法181

二、一阶线性非齐次方程的解法182

第四节 可降阶的高阶微分方程185

一、y(n)=f（x）型的微分方程185

二、y″=f（x,y′）型的微分方程186

三、y″=f（y,y′）型的微分方程187

第五节 二阶线性微分方程解的结构188

第六节 二阶常系数线性齐次微分方程191

第七节 二阶常系数线性非齐次微分方程195

一、f(x)=Pm(x)eλx型195

二、f(x)=Pm(x)eλxcosωx或Pm(x)eλxsinωx型198

附录一 积分表201

附录二 习题答案212