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1交换代数的若干预备知识1

1.1张量积1

1.1.1模的张量积1

1.1.2张量积的右正合性4

1.1.3代数的张量积5

1.2平坦性6

1.2.1左正合性：平坦性6

1.2.2平坦性的局部性质9

1.2.3忠实平坦性12

1.3形式完备化15

1.3.1逆向极限与完备化15

1.3.2 Artin-Rees引理及其应用20

1.3.3 Noether局部环情形22

2概型的一般性质26

2.1环的谱26

2.1.1 Zariski拓扑26

2.1.2代数集29

2.2赋环拓扑空间33

2.2.1层33

2.2.2赋环拓扑空间37

2.3概型41

2.3.1概型的定义和例子42

2.3.2概型之间的态射45

2.3.3射影概型50

2.3.4 Noether概型、代数簇55

2.4既约概型与整概型59

2.4.1既约概型59

2.4.2不可约分支61

2.4.3整概型64

2.5维数67

2.5.1概型的维数68

2.5.2 Noether概型的情形70

2.5.3代数簇的维数73

3态射与基变换78

3.1基变换技巧78

3.1.1纤维积78

3.1.2基变换81

3.2对代数簇的应用87

3.2.1有限型态射87

3.2.2代数簇与基域扩张89

3.2.3取值于基域扩张的点92

3.2.4 Frobunius94

3.3态射的若干整体性质99

3.3.1分离态射99

3.3.2正常态射103

3.3.3射影态射107

4一些局部性质115

4.1正规概型115

4.1.1正规概型与正则函数的扩张115

4.1.2正规化119

4.2正则概型126

4.2.1概型的切空间126

4.2.2正则概型与Jacobi准则128

4.3平坦态射与光滑态射135

4.3.1平坦态射136

4.3.2平展态射139

4.3.3光滑态射141

4.4 Zariski主定理及其应用149

5凝聚层与Cech上同调157

5.1概型上的凝聚层157

5.1.1模层157

5.1.2仿射概型上的逆凝聚层159

5.1.3凝聚层161

5.1.4射影概型上的逆凝聚层164

5.2 Cech上同调178

5.2.1可微模与取值于层的上同调178

5.2.2分离概型上的Cech上同调185

5.2.3高阶正项与平坦基变换188

5.3射影概型的上同调195

5.3.1正项定理195

5.3.2连通性原理198

5.3.3纤维的上同调201

6微分层210

6.1 Kahler微分210

6.1.1相对微分形式模210

6.1.2（1次）相对微分层215

6.2光滑态射的微分研究220

6.2.1光滑准则220

6.2.2局部结构与截面提升223

6.3局部完全交227

6.3.1正则浸入228

6.3.2局部完全交232

6.4对偶理论236

6.4.1行列式236

6.4.2典范层238

6.4.3 Grothendieck对偶243

7除子及其对曲线的应用252

7.1 Cartier除子252

7.1.1亚纯函数252

7.1.2 Cartier除子256

7.1.3 Cartier除子的逆像260

7.2 Weil除子267

7.2.1余维为1的代数闭链267

7.2.2 Van der Waerden纯性定理272

7.3 Riemann-Rock定理275

7.3.1除子的次数275

7.3.2射影曲线的Riemann-Rock定理278

7.4代数曲线284

7.4.1小亏格曲线的分类284

7.4.2 Hurwitz公式289

7.4.3超椭圆曲线292

7.4.4群概型与Picard簇297

7.5奇异曲线、pic（x）的结构309

8曲面的双有理几何317

8.1爆破317

8.1.1定义与基本性质318

8.1.2爆破的普适性质323

8.1.3爆破与双有理态射326

8.1.4通过涨开点正规化曲线330

8.2优概型332

8.2.1泛链式概型与维数公式332

8.2.2 Cohen-Macaulay环335

8.2.3优概型341

8.3纤维化曲面347

8.3.1纤维的性质347

8.3.2赋值与纤维化曲面的双有理类353

8.3.3收缩356

8.3.4奇点解消361

9正则曲面375

9.1正则曲面上的相交理论375

9.1.1局部交376

9.1.2纤维化曲面上的交381

9.1.3与水平除子做交、附加公式388

9.2交与态射394

9.2.1分解定理394

9.1.2投射公式397

9.2.3双有理态射与Picard群401

9.2.4嵌入消解404

9.3极小曲面411

9.3.1例外除子与Castelnuovo准则412

9.3.2相对极小曲面418

9.3.3极小正则模型的存在性421

9.3.4极小奇点解消与极小嵌入解消424

9.4对收缩的应用；典范模型429

9.4.1 Artin可缩性准则430

9.4.2切空间计算434

9.4.3典范模型438

9.4.4 Weierstrass模型与椭圆曲线的正则模型442

10代数曲线的约化454

10.1模型与约化454

10.1.1代数曲线的模型455

10.1.2约化462

10.1.3约化映射467

10.1.4图471

10.2椭圆曲线的约化483

10.2.1极小正则模型的约化484

10.2.2椭圆曲线的Neron模型489

10.2.3势半稳定约化498

10.3代数曲线的稳定约化505

10.3.1稳定曲线505

10.3.2稳定约化511

10.3.3稳定模型存在的若干充分条件521

10.4 Deligne-Mumford定理532

10.4.1基概型上的简化533

10.4.3 Artin-Winters的证明537

10.4.3势稳定约化计算的例子543

参考文献557