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引论 微积分起源的两类基本问题1

1 速度问题与切线问题1

一 变速直线运动的速度1

二 曲线切线的斜率3

2 面积问题4

一 圆的面积、割圆术5

二 曲边梯形的面积6

第一章 极限和微积分学的基本概念9

1 变量与函数9

一 变量9

二 函数的定义11

三 函数的表示法13

四 函数的几何性质16

五 反函数与复合函数18

六 初等函数、双曲函数21

习题一26

2 极限概念27

一 用过程的时刻描述极限28

二 极限过程29

三 数列极限与函数极限的定义30

四 数列极限与函数极限间的关系35

五 级数的收敛与发散37

六 无穷小量与无穷大量39

习题二41

3 极限的性质及存在准则42

一 极限的基本性质42

二 极限的四则运算46

三 极限存在准则、两个重要极限48

四 无穷小(大)量阶的比较57

习题三60

4 函数的连续性62

一 函数的连续与间断63

二 初等函数的连续性66

三 闭区间上连续函数的性质73

习题四77

5 微积分学的基本概念78

一 导数78

二 原函数与不定积分82

三 定积分84

习题五89

综合练习90

第二章 一元函数微分学93

1 导数的计算93

一 用定义求导数93

二 求导数的四则运算法则96

三 反函数求导法则98

四 复合函数求导法则100

五 求导数的基本公式101

六 隐函数求导法则、对数求导法105

七 参数方程所确定的函数求导法则108

八 导数的简单应用110

习题一113

2 微分116

一 微分概念的引入及定义116

二 可微与可导的关系116

三 微分的几何意义119

四 微分公式和微分运算法则120

五 一阶微分形式的不变性121

六 微分在近似计算中的应用123

习题二127

3 高阶导数和高阶微分127

一 高阶导数128

二 高阶微分134

习题三136

4 微分中值定理及其应用137

一 几何事实及其数量关系137

二 微分中值定理140

三 洛必达法则146

四 泰勒公式153

五 函数几何特性的讨论162

习题四177

综合练习180

第三章 一元函数积分学184

1 基本积分公式184

习题一186

2 求不定积分的基本方法187

一 分部积分法187

二 第一换元法196

三 第二换元法202

习题二212

3 有理函数积分法和三角函数有理式积分法214

一 有理函数积分法214

二 三角函数有理式的积分法225

习题三229

4 定积分的性质及计算231

一 定积分的性质232

二 定积分的计算236

三 定积分的近似计算246

习题四251

5 定积分的应用254

一 平面图形的面积256

二 特殊立体的体积260

三 曲线弧长261

四 旋转面的面积264

五 曲率266

六 力矩和质心267

七 变力作功271

八 函数的平均值和均方根273

习题五275

6 反常积分276

习题六281

综合练习282

第四章 简单微分方程287

1 基本概念287

习题一288

2 一阶方程289

一 可分离变量的方程 分离变量法289

二 线性方程292

习题二297

3 二阶线性方程298

二 常系数二阶线性齐次方程299

一 解的结构定理299

三 常系数二阶线性非齐次方程301

四 振动问题306

习题三312

4 高阶方程313

一 常系数线性方程313

二 可降阶的方程316

三 欧拉方程319

习题四320

综合练习321

附录一 实数的基本定理324

一 实数的基本定理324

二 有界闭区间上连续函数的性质332

附录二 Riemann 积分的可积条件335

一 达布(Darboux)和及其性质336

二 可积性条件339

三 可积函数类342