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第一篇 高等数学1

第一章 函数·极限·连续1

§1 函数1

一．有关函数概念的题型1

题型Ⅰ 判别函数的等价性1

题型Ⅱ 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求解f（x）的表达式1

目录1

二．函数的性质2

题型Ⅲ 函数奇偶性的判别2

题型Ⅳ 求解给定函数的周期或周期性证明3

题型Ⅴ 函数f（x）在某区间I上单调性的判别4

题型Ⅵ 函数有界性的判别4

三．复合函数5

题型Ⅰ 已知数列的前几项数值及通项的表达式，求数列的极限6

§2 极限6

一．数列的极限6

题型Ⅱ 求解n→∞时，n项和的极限8

题型Ⅲ 求n→∞时，n项乘积的极限9

题型Ⅳ 通项为积分形式的数列的极限10

题型Ⅴ 利用子序列的极限与函数的极限等值定理，求数列极限11

二．函数的极限12

题型Ⅰ ？型未定式的定值法12

题型Ⅱ ？型未定式的定值法14

题型Ⅲ ∞-∞型未定式的定值法15

题型Ⅳ　0·∞型未定式的定值法15

题型Ⅴ 1∞,00,∞0型未定式的定值法16

题型Ⅰ 确定无穷小的阶17

三．无穷小的阶及极限式中常数值的确定17

题型Ⅱ 极限式中常数值的确定18

§3　函数的连续性20

题型Ⅰ 函数连续性的讨论（重点）20

题型Ⅱ 确定函数的间断点及其类型21

题型Ⅲ 分段函数式中参数的确定（重点）23

第二章　导数与微分25

题型Ⅰ 利用导数定义求极限25

题型Ⅱ 利用导数定义求函数在某点处的导数26

题型Ⅲ 利用导数定义求函数方程28

题型Ⅳ 求复合函数的导数29

题型Ⅵ 由极坐标方程所确定的函数的导数31

题型Ⅶ 隐函数微分法31

题型Ⅴ 求参数方程所确定的函数的导数31

题型Ⅷ 分段函数的导数的求法（重点）32

题型Ⅸ 高阶导数的求法34

题型Ⅹ 杂例36

第三章　不定积分38

题型Ⅰ 第一换元积分法（凑微分法）38

题型Ⅱ 第二换元积分法41

题型Ⅲ 分部积分法43

题型Ⅳ 分式有理函数的积分46

题型Ⅴ 简单无理函数的积分47

题型Ⅵ 三角有理式的积分47

题型Ⅶ 杂例50

第四章　定积分52

题型Ⅰ 利用定积分定义和性质求解的题型52

题型Ⅱ 利用变上限积分的可微性求解的题型55

题型Ⅲ 被积函数含有绝对值符号的定积分的计算58

题型Ⅳ 利用奇偶函数与周期函数的性质简化定积分计算59

题型Ⅴ 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的被积函数的积分60

题型Ⅵ 被积函数中含“变上限积分”的积分61

题型Ⅶ 被积函数的分母为两项，而分子为分母中其中一项的积分61

题型Ⅷ 定积分等式的证明技巧62

题型Ⅸ 定积分不等式的证明技巧66

题型Ⅹ 定积分的杂例71

题型Ⅺ 广义积分的计算72

题型Ⅻ 判别广义积分的敛散性74

第五章 中值定理78

题型Ⅰ 有关闭区间上连续函数的命题的证明78

题型Ⅱ 欲证结论为f(n)(？)＝0的命题的证法79

题型Ⅲ 欲证结论为f(n)(？)＝k(k≠0)，或由a,b,f(a),f(b),？,f(？),f(？),…,f(n)(？)所构成的代数式的证法81

题型Ⅳ欲证结论为（a,b）内？ ,η满足某种关系式的命题的证法83

第六章 一元微积分的应用86

§1 导数的应用86

题型Ⅰ 利用导数判别函数单调增减性的方法证明不等式86

题型Ⅱ 求函数的极值与最值87

题型Ⅲ 关于方程根的研究90

杂例93

题型Ⅳ 函数图形在区间Ⅰ上凹凸性的判别95

题型Ⅴ 渐近线类型：（1）水平渐近线；（2）铅直渐近线；（3）斜渐近线96

§2　定积分的应用96

题型Ⅰ 微元法及其应用96

题型Ⅱ 平面图形面积的求法98

题型Ⅲ 求立体体积99

题型Ⅰ 向量的运算102

第七章＊ 向量代数与空间解析几何102

题型Ⅱ 求平面方程104

题型Ⅲ 求空间直线方程105

题型Ⅳ 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系106

题型Ⅴ 点到平面、点到直线的距离，两异面直线的距离107

题型Ⅵ 线性代数中线性相关性在解析几何中的应用108

题型Ⅶ 投影线方程110

题型Ⅷ 旋转面方程111

第八章＊ 多元函数微分学112

题型Ⅰ 判别lim f（x,y）不存在的方法112

题型Ⅱ 用全微分定义验证一个可导函数的可微性112

题型Ⅲ 抽象的复合函数的偏导数的求法114

题型Ⅳ 隐函数方程组的微分法115

题型Ⅴ 多元函数微分学在几何中的应用117

题型Ⅵ 多元微分学的有关证明题118

题型Ⅶ 多元函数的极值120

题型Ⅷ 杂例122

第九章＊ 重积分125

题型Ⅰ 关于二重积分概念及其性质的命题125

题型Ⅱ 更换积分次序127

题型Ⅲ 选择积分次序127

题型Ⅳ 选择坐标系128

题型Ⅴ 分段函数的积分129

题型Ⅵ 涉及二次累次积分不等式的证明131

题型Ⅶ 三重积分的计算132

题型Ⅷ 杂例135

题型Ⅰ 对弧长的曲线积分的计算137

第十章＊ 曲线曲面积分137

题型Ⅱ 对坐标的曲线积分计算（重点）138

题型Ⅲ 对面积的曲面积分计算144

题型Ⅳ 对坐标系的曲面积分计算145

题型Ⅴ 曲面面积的计算151

题型Ⅵ 场论初步152

第十一章＊ 无穷级数154

题型Ⅰ 有关级数概念及性质的命题154

题型Ⅱ 正项级数？un（un≥0）的判敛155

题型Ⅲ 任意项级数的判敛156

题型Ⅳ 有关数项级数的命题的证明158

题型Ⅴ 函数项级数？un（x）求收敛域，幂级数求收敛域、收敛半径R159

题型Ⅵ 求函数的幂级数展开式161

题型Ⅶ 级数求和163

题型Ⅷ 付立叶级数166

第十二章 常微分方程169

题型Ⅰ 可求解的一阶微分方程169

题型Ⅱ 可降阶的高阶微分方程的解法173

题型Ⅲ 高阶常系数线性微分方程的解法175

题型Ⅳ＊ 欧拉方程的解法179

题型Ⅴ 微分方程在几何和力学中的应用179

第二篇 线性代数183

第一章 行列式183

题型Ⅰ 确定用行列式表示的多项式f（x）中，关于x的最高次数及x的各次幂前的系数183

题型Ⅱ 涉及方阵、逆矩阵、伴随矩阵、向量等概念的3～5阶行列式的计算185

题型Ⅲ 证明抽象行列式等于零的方法187

题型Ⅳ n阶行列式的计算法188

题型Ⅴ 综合题193

第二章　矩阵195

题型Ⅰ 关于矩阵的基本性质及初等变换的命题195

题型Ⅱ 有关αTα与ααT命题的求解与论证198

题型Ⅲ 求n阶方阵A的k次幂Ak的方法200

题型Ⅳ 求满秩矩阵的逆矩阵202

题型Ⅴ 求解矩阵方程204

题型Ⅵ 关于矩阵A存在逆矩阵的证明206

题型Ⅶ 与方阵A的伴随矩阵A＊有关的命题的计算与证明207

题型Ⅷ 矩阵秩的求法及有关矩阵秩的等式与不等式的证明209

题型Ⅸ　综合题211

第三章　向量212

题型Ⅰ 有关向量的概念及其性质的命题212

题型Ⅱ 有关线性组合的判别与证明的命题214

题型Ⅲ 有关线性表出的命题的证法215

题型Ⅳ 向量线性相关性的证法216

题型Ⅴ 求向量组的极大线性无关组及向量组秩的有关命题的证明219

题型Ⅵ＊ 求过渡矩阵与向量的坐标221

题型Ⅶ＊ 有关正交矩阵命题的证明222

第四章 线性方程组224

题型Ⅰ 有关线性方程解的概念及性质的命题224

题型Ⅱ 含有参数的线性方程组解的讨论227

题型Ⅲ 有关基础解系的命题的证法229

题型Ⅳ 涉及两个方程组解之间关系的命题的讨论230

题型Ⅴ 综合题233

第五章　矩阵的特征值与特征向量236

题型Ⅰ 有关特征值与特征向量概念及性质的命题237

题型Ⅱ 特征值的求法与证法239

题型Ⅲ 矩阵（kE-A）是否可逆的特征值证法242

题型Ⅳ 两矩阵相似的证法243

题型Ⅴ P-1AP＝Λ中已知两者求第三者的方法245

第六章＊ 二次型248

题型Ⅰ 有关概念及性质的命题248

题型Ⅱ 将二次型f(x1,x2,…,xn)＝2(x1,…,xn)？2化为标准形f＝λ1y？＋λ2y2＋ ＋λny2的方法251

题型Ⅲ 二次型与其标准形中参数的确定及正交变换254

题型Ⅳ 有关正定矩阵命题的证明257

第三篇 概率论与数理统计初步260

第一章　事件的概率260

题型Ⅰ 利用古典概型与加法定理计算概率260

题型Ⅱ 利用条件概率与乘法公式计算概率261

题型Ⅲ 利用全概公式和逆概公式（贝叶斯公式）计算概率264

题型Ⅳ 单项选择题266

第二章 随机变量及其分布267

题型Ⅰ 一维随机变量的分布函数及分布密度267

题型Ⅱ 二维随机变量（X,Y）的分布函数及其密度272

题型Ⅲ 一维随机变量函数Y＝g（X）分布律（分布密度）的求法275

题型Ⅳ 二维随机变量（X,Y）函数g（X,Y）的分布律（分布密度）的求法276

第三章 随机变量的数字特征280

题型Ⅰ 一维随机变量的数字特征280

题型Ⅱ 一维随机变量函数的数字特征282

题型Ⅲ 求二维随机变量的数字特征285

题型Ⅳ 二维随机变量（X,Y）函数Z＝g（X,Y）的数字特征286

题型Ⅴ 多维随机变量数字特征的求解技巧（（0-1）分布分解法简介）288

题型Ⅵ 有关证明题290

题型Ⅰ 估算随机事件的概率292

第四章　大数定律和中心极限定理292

题型Ⅱ 试验次数n的确定295

题型Ⅲ 证明题296

第五章　数理统计初步298

题型Ⅰ 样本容量n，样本均值？及样本方差S2的数字特征和概率的求法298

题型Ⅱ 求抽样分布301

题型Ⅲ 统计量的点估计？302

题型Ⅳ 正态总体均值与方差的区间估计304

题型Ⅴ 估计量的评选标准307

题型Ⅵ 一个正态总体均值的假设检验309

题型Ⅶ 一个正态总体方差D（X）＝σ2的假设检验310

题型Ⅲ 两个正态总体均值的检验311

篇后篇 单项选择题的解题技巧315

数学一　模拟试题（一）及参考答案325

数学一　模拟试题（二）及参考答案332

数学一　模拟试题（三）及参考答案341

数学一　模拟试题（四）及参考答案347

数学一　模拟试题（五）及参考答案356

数学一　模拟试题（六）及参考答案363

数学二　模拟试题（一）及参考答案370

数学二　模拟试题（二）及参考答案375

数学二　模拟试题（三）及参考答案380

数学二　模拟试题（四）及参考答案385

数学二　模拟试题（五）及参考答案389

数学二　模拟试题（六）及参考答案395

附录1　2001年硕士研究生入学考试数学试题一、二及参考答案401

附录2　2002年硕士研究生入学考试数学试题一、二及参考答案414

附录3　2003年硕士研究生入学考试数学试题一、二及参考答案431