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第1章 数列极限1

1.1 数列极限的定义与基本性质1

1.1.1 数列极限的定义1

1.1.2 数列极限定义的应用4

1.1.3 收敛数列的性质10

1.1.4 数列极限的运算法则14

1.1.5 无穷小量及其运算性质21

1.1.6 趋向于无穷大的数列21

1.2 单调有界定理与应用24

1.2.1 单调有界定理24

1.2.2 两个典型单调数列26

1.2.3 单调数列综合例题29

1.3 闭区间套定理与应用33

1.3.1 闭区间套定理33

1.3.2 闭区间套定理的应用34

1.4 柯西收敛准则及其应用36

1.4.1 列紧性定理36

1.4.2 柯西收敛准则37

1.4.3 柯西收敛准则的应用39

1.5 确界存在定理与应用42

1.5.1 确界存在定理42

1.5.2 确界存在定理的应用44

1.6 有限覆盖定理46

1.7 实数系六个定理的等价性讨论47

1.7.1 实数的连续与完备性讨论47

1.7.2 无理数集合、有理数集合与实数集合的进一步讨论51

1.8 数列的上下极限与应用52

1.9 施笃兹定理与应用56

1.9.1 施笃兹定理56

1.9.2 施笃兹定理的应用58

1.10 综合例题选讲59

1.11 提高课64

1.12 探索类问题72

第2章 函数极限与连续77

2.1 集合77

2.1.1 集合的定义77

2.1.2 集合的基本术语78

2.1.3 集合的势的定义与基本性质83

2.2 初等函数的讨论87

2.2.1 初等函数回顾87

2.2.2 函数曲线的数学描述89

2.2.3 函数曲线与数学建模90

2.2.4 函数基本性质讨论91

2.3 函数极限的定义与基本理论94

2.3.1 函数极限的定义94

2.3.2 函数极限的基本性质98

2.3.3 函数极限的四则运算与夹逼定理101

2.3.4 复合函数的极限103

2.3.5 典型例题104

2.3.6 海涅原理107

2.3.7 柯西收敛定理109

2.4 连续函数112

2.4.1 连续函数与间断点分类112

2.4.2 函数的间断点类型分析115

2.4.3 连续函数的应用：函数极限求解与函数方程117

2.5 函数极限的其他形式与结论120

2.5.1 单侧极限120

2.5.2 自变量趋向于无穷大时函数的极限122

2.5 3典型例题127

2.6 一致连续函数133

2.6.1 函数一致连续的定义133

2.6.2 函数一致连续典型例题137

2.7 收敛速度讨论：无穷小与无穷大阶的比较140

2.7.1 无穷小阶的比较140

2.7.2 无穷小阶的运算性质143

2.7.3 无穷大阶的比较145

2.8 有限闭区间上连续函数的整体性质148

2.8.1 有限闭区间上连续函数的性质148

2.8.2 连续函数性质的进一步讨论153

2.9 综合例题选讲156

2.10 提高课162

2.10.1 有限覆盖定理的进一步认识162

2.10.2 连续函数的不动点定理以及应用164

2.11 探索类问题167

第3章 导数的计算与应用173

3.1 导数的定义与计算173

3.1.1 导数的定义173

3.1.2 导数的四则运算法则176

3.1.3 四则运算应用举例177

3.1.4 复合函数逐层外推求导定理178

3.1.5 复合函数逐层外推求导计算例题179

3.1.6 反函数求导法则与应用181

3.2 高阶导数182

3.2.1 高阶导数的定义与计算182

3.2.2 莱布尼茨求导公式与应用184

3.2.3 高阶导数的计算184

3.3 隐函数和参数方程的求导186

3.4 微分中值定理188

3.4.1 罗尔定理证明188

3.4.2 罗尔定理应用189

3.4.3 拉格朗日中值定理证明191

3.4.4 拉格朗日中值定理应用193

3.4.5 柯西中值定理194

3.4.6 柯西中值定理应用195

3.5 函数的单调性197

3.5.1 函数单调性判定定理197

3.5.2 函数单调区间分析应用例题198

3.6 极值问题200

3.6.1 极值问题判定定理200

3.6.2 极值问题求解201

3.6.3 函数的最大最小值203

3.7 凹凸函数206

3.7.1 函数凹凸的定义及詹森定理206

3.7.2 凹凸函数的判定定理207

3.7.3 凹凸函数应用210

3.8 洛必达法则213

3.8.1 洛必达法则213

3.8.2 洛必达法则应用215

3.9 函数作图217

3.10 综合例题选讲219

3.11 提高课223

3.11.1 数学建模：彩虹现象223

3.11.2 数学建模：罐子设计225

3.11.3 方程求根227

3.11.4 几类特殊函数性质的讨论231

3.12 探索类问题236

第4章 泰勒公式239

4.1 微分的定义与运算性质239

4.1.1 微分的定义与计算239

4.1.2 高阶微分的定义与计算242

4.1.3 微分的应用：近似计算243

4.2 带佩亚诺型余项的泰勒公式243

4.2.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式243

4.2.2 常用函数的泰勒展开（佩亚诺型余项）245

4.2.3 泰勒公式局部逼近247

4.2.4 函数的泰勒渐近展开248

4.3 带拉格朗日余项的泰勒公式250

4.3.1 带拉格朗日余项的泰勒公式250

4.3.2 泰勒公式的应用252

4.3.3 泰勒公式典型例题255

4.4 综合例题选讲258

4.5 提高课261

4.5.1 泰勒公式在科学计算中的应用261

4.5.2 拉格朗日插值逼近264

4.6 探索类问题266

第5章 不定积分269

5.1 不定积分的定义与基本性质269

5.2 第一类换元公式与应用271

5.3 分部积分公式与应用276

5.4 第二类换元公式与应用278

5.5 几类特殊函数的不定积分282

5.5.1 有理函数的不定积分283

5.5.2 三角函数有理式的不定积分286

5.5.3 无理根式的不定积分287

5.6 综合例题选讲289

5.7 探索类问题295

第6章 定积分297

6.1 定积分的定义与基本运算性质297

6.2 函数可积性讨论303

6.2.1 函数可积定理303

6.2.2 可积函数类310

6.3 微积分基本定理318

6.3.1 牛顿-莱布尼茨公式318

6.3.2 微积分基本定理320

6.4 定积分的计算325

6.4.1 定积分的分部积分公式325

6.4.2 定积分的换元公式329

6.5 定积分中值定理335

6.5.1 定积分第一中值定理335

6.5.2 定积分第二中值定理337

6.5.3 定积分第三中值定理340

6.6 勒贝格定理341

6.6.1 勒贝格定理341

6.6.2 勒贝格定理的应用343

6.7 综合例题选讲345

6.8 提高课352

6.8.1 积分算子的应用：函数的磨光352

6.8.2 定积分的数值计算356

6.8.3 勒贝格积分初步363

6.9 探索类问题367

第7章 定积分的应用370

7.1 定积分解决实际问题的一般方法370

7.2 平面图形面积的计算371

7.2.1 直角坐标系下图形面积计算371

7.2.2 参数方程表示的曲线围成平面图形的面积373

7.2.3 极坐标系下平面图形面积的计算375

7.3 旋转曲面面积的计算377

7.4 旋转体体积的计算方法383

7.5 曲线的弧长388

7.6 平面曲线的曲率391

7.7 定积分的物理应用393

7.7.1 变力做功与压力压强393

7.7.2 液体的压力与压强394

7.7.3 引力问题395

7.7.4 力矩和质心397

7.8 探索类问题399

第8章 广义积分401

8.1 无穷积分的基本概念与性质401

8.1.1 无穷积分的定义401

8.1.2 无穷积分的计算405

8.2 无穷积分敛散性的判别方法408

8.2.1 无穷区间上非负函数积分的敛散性判别408

8.2.2 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理412

8.3 瑕积分419

8.4 综合例题选讲428

8.5 探索类问题431

第9章 数项级数433

9.1 数项级数的基本概念与性质433

9.1.1 数项级数的概念433

9.1.2 数项级数的性质434

9.2 正项级数439

9.2.1 正项级数的比较判别法439

9.2.2 正项级数的柯西积分判别法443

9.2.3 正项级数的柯西判别法446

9.2.4 正项级数的达朗贝尔判别法448

9.2.5 正项级数的拉贝判别法451

9.3 一般级数收敛问题讨论455

9.3.1 交错级数455

9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法456

9.3.3 绝对收敛和条件收敛级数460

9.3.4 绝对收敛级数的性质464

9.3.5 广义积分与数项级数467

9.4 综合例题选讲469

9.5 提高课473

9.5.1 级数的乘法473

9.5.2 无穷乘积476

9.6 探索类问题480

参考文献482