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教师导学1

数学素质与数学竞赛（代序）1

基础阶梯7

第一讲 初等数学概述7

1．集合与函数7

2．初等函数9

3．不等式12

4．复数17

5．多项式与高次方程20

6．排列组合与二项式定理26

7．数列30

8．立体几何36

9．初等数学若干解题技术50

提高阶梯60

第二讲 初等几何问题60

1．初等几何著名定理60

（1）Menelaus定理60

（2）Ceva定理61

（3）Simson定理62

（4）Ptolemy定理63

（5）Erd？s定理64

（6）Euler定理65

2．初等几何重要例题66

3．初等几何题谱139

第三讲 序列、递归和迭代问题174

1．从菲波那奇（Fibonacci）序列谈起174

2．经验归纳法与数学归纳法联施求解递归方程175

3．递归方程的代数解法180

4．函数迭代及其周期性184

5．数学中的两个著名迭代187

（1）伯努利（Bernoulli）移位迭代187

（2）抛物线与三角帐篷迭代189

6．序列、递归和迭代题谱192

第四讲 组合问题215

1．排列、组合和加法乘法原理215

（1）加法原理215

（2）乘法原理215

（3）无重复的排列与组合216

（4）元素可重复的排列与组合217

2．容斥原理与错位排列220

（1）集合的德·摩根（De Morgan）律和容斥原理220

（2）错位排列222

3．抽屉原理223

4．母函数与整数分拆227

5．组合题谱230

第五讲 初等数论问题253

1．整数除法和算术基本定理254

（1）素数与带余除法254

（2）最大公因数与最小公倍数256

（3）算术基本定理258

2．不定方程260

3．同余262

（1）同余的概念262

（2）一次同余式与中国剩余定理263

（3）剩余系，Euler定理和Fermat小定理265

4．初等数论重要例题266

5．初等数论题谱295

第六讲 图论问题308

1．图的基本概念308

2．树310

3．图上遍历312

4．平面图及其Euler公式315

5．图上匹配317

6．图上着色319

7．有向图与竞赛图322

8．图论重要例题325

9．图论赛题题谱339

第七讲 反证法362

1．反证原理362

2．反证法与第三次数学危机363

3．反证法题谱366

第八讲 数学归纳法389

1．数学归纳原理389

2．第二数学归纳法与Catalan数391

3．跷跷板归纳法394

4．数学归纳法递推步骤的常用技巧395

（1）从P（k+1）返回P（k）完成递推步骤395

（2）把原命题的结论变强以便用数学归纳法396

（3）大跨度归纳与反向归纳397

5．数学归纳法题谱410

卷末寄语423