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目录1

前言1

第1部分 微积分1

第1章 函数、极限与连续3

1.1 常用基础公式、函数及函数性质4

1.1.1 常用代数公式4

1.1.2 常用三角公式5

1.1.3 基本初等函数的图形与其主要性质7

1.1.4　双曲函数及其反函数7

1.2.1 集合、常量与变量16

1.2 函数16

1.1.5 常见的经济函数16

1.2.2 函数概念18

1.2.3 函数的性质与类型19

1.2.4 函数的作图21

1.3　极限23

1.3.1 数列的极限23

1.3.2 函数的极限26

1.4　连续33

1.4.1 函数的连续性33

1.4.2 函数的间断点34

1.4.3 初等函数的连续性35

1.4.4 闭区间上连续函数的性质36

1.4.5 函数的一致连续性37

第2章　一元函数微分学38

2.1　导数及其求法39

2.1.1 导数与导函数的概念39

2.1.2 不可导的几种情形40

2.1.3　可导与连续的关系40

2.1.4 导数的几何意义与＊平面曲线的切线、法线方程41

2.1.5 导数的物理意义与相关变化率41

2.1.6 导数的求法42

2.2.1 高阶导数44

2.2　高阶导数及其求法44

2.2.2 基本公式45

2.2.3　莱布尼兹公式45

2.2.4　高阶导数题型46

2.3　微分及其应用46

2.3.1 微分的概念46

2.3.2　微分的几何意义47

2.3.3　基本初等函数的微分公式与微分运算法则48

2.3.4　微分的应用50

2.4　中值定理及其应用51

2.4.1 微分学基本定理51

2.4.2 洛必达法则53

2.4.3 中值定理应用55

2.5　导数的应用57

2.5.1 函数单调性的判定法57

2.5.2 函数的极值及其求法58

2.5.3 最大值、最小值问题59

2.5.4 曲线的凹凸、拐点与渐近线60

2.5.5 函数图形的描绘62

2.5.6 曲率62

2.5.7　方程的近似解65

2.5.8 导数的经济意义及其在经济中的应用66

2.5.9 函数极值在经济管理中的应用69

第3章　一元函数积分学71

3.1　不定积分71

3.1.1 不定积分的概念与性质71

3.1.2　基本积分方法74

3.1.3 几种特殊类型函数的积分79

3.2　定积分82

3.2.1 定积分的概念与性质82

3.2.2　微积分基本公式84

3.2.3 定积分的计算方法85

3.2.4　定积分的近似计算87

3.3.2 几何应用88

3.3.1 元素法88

3.3　定积分的应用88

3.3.3 定积分在物理和力学上的应用91

3.3.4 经济问题92

3.3.5　平均值与均方根92

3.4　广义积分92

3.4.1 两类广义积分的定义93

3.4.2 广义积分的审敛法95

3.4.3 广义积分的求值96

3.4.4　г函数96

4.1.1 区域及有关概念98

4.1　多元函数的概念、极限与连续性98

第4章 多元函数微积分学98

4.1.2 多元函数概念99

4.1.3 多元函数的极限100

4.1.4 多元函数的连续性101

4.2　偏导数与全微分102

4.2.1 偏导数及其计算法102

4.2.2 高阶偏导数104

4.2.3 偏导数在经济学中的应用105

4.2.4 全微分107

4.2.5 多元复合函数的求导法则109

4.2.6 隐函数的求导公式111

4.3.1　无条件极值113

4.3　多元函数的极值及其求法113

4.3.2 条件极值 拉格朗日乘数法114

4.3.3 函数的最大值和最小值114

4.4　二重积分115

4.4.1 二重积分的概念与性质115

4.4.2 二重积分的计算117

4.4.3 二重积分的应用120

第5章　无穷级数124

5.1　常数项级数124

5.1.1　基本概念124

5.1.2 收敛级数的基本性质125

5.1.4 常数项级数的判别法126

5.1.3　柯西审敛原理126

5.1.5 常数项级数的求和131

5.2　幂级数132

5.2.1 函数项级数与幂级数的概念132

5.2.2　幂级数的收敛性、运算及和函数性质133

5.2.3 函数展开成幂级数135

5.2.4 函数的幂级数展开式的应用138

5.2.5 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质140

第6章　常微分方程与＊差分方程142

6.1　微分方程的基本概念142

6.2.2　齐次方程143

6.2　一阶微分方程143

6.2.1 变量可分离的微分方程143

6.2.3　一阶线性微分方程144

6.2.4　全微分方程145

6.3　可降阶的高阶微分方程147

6.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程147

6.3.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程147

6.3.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程147

6.4　高阶线性微分方程148

6.4.1 基本概念148

6.4.2 线性微分方程的解的结构148

6.4.3 常数变易法149

6.4.4　二阶与n阶常系数齐次线性微分方程150

6.4.5 二阶与n阶常系数非齐次线性微分方程152

6.4.6 欧拉方程154

6.5　差分方程155

6.5.1　基本概念155

6.5.2　基本定理156

6.5.3 主要特点156

6.6　一阶常系数线性差分方程156

6.6.1　基本概念156

6.6.2　通解求法157

6.7　二阶常系数线性差分方程160

6.6.3 一阶常系数线性差分方程的性质160

第2部分　线性代数163

第7章　行列式165

7.1　行列式的定义165

7.1.1 排列、逆序与对换165

7.1.2 n阶行列式166

7.2　行列式的性质与计算167

7.2.1 行列式的性质167

7.2.2 行列式按行（列）展开定理168

7.2.3 拉普拉斯展开定理及其应用特例169

7.2.4 行列式的计算170

8.1.1　矩阵172

第8章　矩阵172

8.1　矩阵及其运算172

8.1.2　矩阵的运算173

8.2　矩阵的秩与矩阵的初等变换176

8.2.1 矩阵的秩及其求法176

8.2.2　矩阵的初等变换177

8.2.3 等价矩阵177

8.2.4 初等矩阵177

8.3　逆矩阵178

8.3.1 逆矩阵的定义178

8.3.3 矩阵可逆的充要条件179

8.3.2　逆矩阵的性质179

8.3.4 伴随矩阵180

8.3.5 逆矩阵的求法180

8.4　矩阵的分块181

8.4.1 分块矩阵的定义181

8.4.2 分块矩阵的运算规则182

8.4.3　利用分块矩阵求逆矩阵183

8.4.4　分块初等矩阵和分块矩阵的初等变换184

第9章 向量185

9.1　n维向量185

9.1.1 n维向量的定义185

9.2.1 线性组合与线性表示186

9.1.2 向量的运算186

9.2　向量间的线性关系186

9.2.2　线性相关与线性无关187

9.3 向量组的秩和矩阵的秩188

9.3.1 极大线性无关组188

9.3.2 向量组的等价性189

9.3.3 向量组的秩189

9.3.4　矩阵的秩189

9.4 向量空间190

9.4.1 基本概念190

9.4.2 基变换与坐标变换191

9.4.3　判定与求解方法192

9.4.4 向量的内积193

9.4.5 标准正交基和正交矩阵194

第10章　线性方程组196

10.1 消元法196

10.1.1 线性方程组的基本概念196

10.1.2　线性方程组的初等变换及有解条件197

10.1.3 消元法198

10.2.2 非齐次与齐次线性方程组解的关系199

10.2.3 线性方程组解的性质199

10.2.1 线性方程组解的判定199

10.2　线性方程组解的讨论199

10.3　线性方程组解的结构200

10.3.1 基础解系、通解及解空间200

10.3.2 齐次线性方程组解的结构202

10.3.3 非齐次线性方程组解的结构202

10.4　克莱姆法则与线性方程组的一般求法203

10.4.1 克莱姆法则及推论203

10.4.2 线性方程组解的求法203

第11章　矩阵的特征值和特征向量205

11.1　特征值和特征向量205

11.1.1 基本概念205

11.1.3　求解方法206

11.1.2 主要性质206

11.1.4　特征多项式的性质207

11.1.5 相似矩阵207

11.2　矩阵相似对角化的条件208

11.2.1 可相似对角化的概念与条件208

11.2.2　矩阵可对角化的判断209

11.3　实对称矩阵及其相似对角化210

11.3.1 基本性质210

11.3.2 实对称矩阵的相似对角化方法210

12.1　二次型及其矩阵表示211

12.1.1 次型的概念211

第12章　二次型211

12.1.2　二次线性与对称矩阵212

12.1.3 合同矩阵212

12.2　化二次型为标准形和规范形213

12.2.1 二次型的标准形和规范形213

12.2.2 化二次型为标准形的方法213

12.2.3 化二次型为规范形的方法215

12.2.4　惯性定理215

12.3 正定二次型215

12.3.1　概念215

12.3.2　判别法216

12.3.3　正定矩阵的性质216

第3部分　概率论与＊数理统计219

第13章　随机事件和概率221

13.1　随机事件及其运算221

13.1.1 随机事件与样本空间221

13.1.2　事件的关系222

13.1.3　事件的运算224

13.2　事件的概率及其性质225

13.2.1 频率及其稳定性225

13.2.2　概率的定义225

13.2.3　概率的性质226

13.3.1　加法与乘法原理 排列与组合227

13.3　概率的计算227

13.3.2　古典型概率228

13.3.3　几何型概率229

13.3.4　条件概率229

13.4　独立试验序列概型230

13.4.1　独立试验序列概型230

13.4.2　事件的独立性231

13.4.3 贝努利概型231

第14章　随机变量及其分布233

14.1　随机变量及其分布函数233

14.1.1　随机变量233

14.1.3 随机变量的概率分布234

14.1.2 随机变量的分布函数234

14.2　离散型随机变量及其分布律235

14.2.1 基本概念235

14.2.2　分布函数235

14.2.3　概率函数与分布函数及事件概率的关系235

14.2.4 常见离散型随机变量的慨率分布236

14.2.5 泊松定理238

14.2.6 离散型随机变量分布律的求法238

14.2.7 二项分布与泊松分布的应用238

14.3　连续型随机变量及其概率密度函数240

14.3.1　基本概念与性质240

14.3.3　常见连续型随机变量的概率分布241

14.3.2　概率密度与分布函数及事件概率的关系241

14.3.4　指数分布与正态分布的应用244

14.4　随机变量函数及其分布245

14.4.1　基本概念245

14.4.2　离散型随机变量函数的分布律245

14.4.3　连续随机变量函数的概率密度函数245

第15章　多维随机变量的分布247

15.1 多维随机变量及其分布函数247

15.1.1 多维随机变量247

15.1.2 二维随机变量的分布函数248

15.1.3　边缘分布函数248

15.2.4　分布律与分布函数的关系249

15.2.3　边缘分布律249

15.2　二维离散型随机变量及其分布律249

15.2.2 分布律249

15.2.1 二维离散型随机变量249

15.3　二维连续型随机变量及其分布律250

15.3.1 二维连续型随机变量250

15.3.2　概率密度的性质250

15.3.3 边缘密度函数251

15.4　条件分布251

15.4.1 离散型随机变量的条件分布律251

15.4.2 连续型随机变量的条件分布律251

15.5.2　独立的充分必要条件252

15.5.1 独立性252

15.5　二维随机变量的独立性252

15.6　二维随机变量函数的分布253

15.6.1　基本概念253

15.6.2 Z＝X＋Y的分布253

15.6.3　Z＝X2＋Y2的分布254

15.6.4　M＝max（X,Y）及N＝min（X,Y）的分布254

15.7　常见的二维概率分布254

15.7.1　二维0-1分布254

15.7.2 二维均匀分布255

15.7.3　二维正态分布255

16.1.1 随机变量的数学期望257

第16章 随机变量的数字特征257

16.1 随机变量的数学期望与方差257

16.1.2 随机变量的方差与标准差258

16.1.3 常用分布的数学期望与方差259

16.2　协方差、相关系数和矩261

16.2.1 协方差261

16.2.2 相关系数261

16.2.3　独立性与不相关性262

16.2.4　矩263

16.3 随机变量函数的数学期望与方差264

16.3.1 随机变量函数的数学期望264

16.3.2　随机变量函数的方差265

16.4　随机序列的收敛性及切比雪夫不等式266

16.4.1 分布函数的弱收敛266

16.4.2 随机变量的收敛性266

16.4.3　切比雪夫不等式与马尔科夫不等式267

第17章 中心极限定理和大数定律269

17.1　大数定律269

17.1.1　定义269

17.1.2 常用的大数定律270

17.1.3　柯尔莫哥洛夫定理及判别法270

17.2.2 常见的中心极限定理271

17.2.1　定义271

17.2 中心极限定理271

第18章　数理统计的基本概念275

18.1　数理统计的基本概念275

18.1.1 总体与样本275

18.1.2　统计量276

18.1.3　顺序统计量276

18.1.4　经验分布函数与抽样分布277

18.2　常用的抽样分布277

18.2.1 样本均值的分布277

18.2.2　x2分布279

18.2.3　t分布282

18.2.4　F分布283

第19章　参数估计286

19.1　参数估计的概念与分类286

19.2　点估计287

19.2.1　基本概念287

19.2.2 常见的点估计287

19.2.3 常用的点估计方法289

19.2.4 估计量的简单性质（评价标准）291

19.3.1 基本概念292

19.3.2　正态总体期望的区间估计292

19.3　区间估计292

19.3.3 正态总体方差的区间估计294

19.3.4 两个正态总体均值差的区间估计295

19.3.5 两个正态总体方差比的区间估计297

第20章　假设检验298

20.1　假设检验与参数检验298

20.1.1 基本概念298

20.1.2　假设检验的一般步骤298

20.1.3　假设检验的风险及两类错误299

20.2　单个正态总体的假设检验299

20.2.3　未知方差σ2，检验假设H0：μ≤μ0300

20.2.2 未知方差σ2，检验假设H0：μ＝μ0300

20.2.1 已知方差σ2，检验假设H0：μ＝μ0300

20.2.4 已知均值μ，检验假设H0：σ2＝σ？301

20.2.5　未知均值μ，检验假设H0：σ2＝σ？301

20.2.6 未知均值μ，检验假设H0：σ2≤σ？302

20.3　两个正态总体的假设检验304

20.3.1 已知方差σ？,σ？，检验假设H0：μ1＝μ2304

20.3.2 未知方差σ？,σ？但σ？＝σ？＝σ2，检验假设H0：μ1＝μ2304

20.3.3 已知均值μ1,μ2，检验假设H0：σ？＝σ？305

20.3.4 未知均值μ1,μ2，检验假设H0：σ？＝σ？306

20.4　关于总体分布函数的假设检验308

参考文献309