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第一章 向量代数1

§1 向量的线性运算1

1.1 向量的概念、记号和几何表示1

1.2 向量的线性运算3

1.3 向量的分解7

1.4 在三点共线问题上的应用9

习题1.114

§2 仿射坐标系17

2.1 仿射坐标系的定义17

2.2 向量的坐标19

2.3 几何应用举例21

习题1.224

§3 向量的内积26

3.1 向量的投影26

3.2 内积的定义28

3.3 内积的双线性性质29

3.4 用坐标计算内积31

习题1.333

§4 向量的外积34

4.1 三个不共面向量的定向34

4.2 外积的定义35

4.3 外积的双线性性质36

4.4 用坐标计算外积37

习题1.439

§5 向量的多重乘积40

5.1 二重外积40

5.2 混合积41

5.3 用坐标计算混合积42

习题1.545

1.1 一般方程与参数方程47

§1 图形与方程47

第二章 空间解析几何47

1.2 柱坐标系和球坐标系50

习题2.151

§2 平面的方程53

2.1 平面的方程53

2.2 平面一般方程的系数的几何意义56

2.3 平面间的位置关系57

2.4 三元一次不等式的几何意义58

习题2.260

3.1 直线的两类方程62

§3 直线的方程62

3.2 直线与平面的位置关系，共轴平面系65

3.3 直线与直线的位置关系69

习题2.372

§4 涉及平面和直线的度量关系76

4.1 直角坐标系中平面方程系数的几何意义76

4.2 距离76

4.3 夹角80

习题2.481

5.1 旋转面84

§5 旋转面、柱面和锥面84

5.2 柱面93

5.3 锥面95

习题2.598

§6 二次曲面102

6.1 压缩法102

6.2 对称性105

6.3 平面截线法106

习题2.6110

§7 直纹二次曲面111

7.1 双曲抛物面的直纹性112

7.2 单叶双曲面的直纹性116

习题2.7119

第三章 坐标变换与二次曲线的分类122

§1 仿射坐标变换的一般理论122

1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式123

1.2 图形的坐标变换公式124

1.3 过渡矩阵的性质127

1.4 代数曲面和代数曲线130

1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵131

习题3.1134

§2 二次曲线的类型136

2.1 用转轴变换消去交叉项137

2.2 用移轴变换进一步简化方程137

习题3.2141

§3 用方程的系数判别二次曲线的类型、不变量142

3.1 二元二次多项式的矩阵144

3.2 二元二次多项式的不变量I1，I2，I3145

3.3 用不变量判别二次曲线的类型148

*3.4 半不变量K1149

习题3.3153

§4圆锥曲线的仿射特征154

4.1 直线与二次曲线的相交情况155

4.2 中心156

4.3 渐近方向157

4.4 抛物线的开口朝向159

4.5 直径与共轭159

4.6 圆锥曲线的切线162

习题3.4163

§5 圆锥曲线的度量特征167

5.1 抛物线的对称轴167

5.2 椭圆和双曲线的对称轴169

习题3.5173

第四章 保距变换和仿射变换175

§1 平面的仿射变换与保距变换176

1.1 一一对应与可逆变换176

1.2 平面上的变换群178

1.3 保距变换180

1.4 仿射变换181

习题4.1185

§2 仿射变换基本定理186

2.1 仿射变换决定的向量变换187

2.2 仿射变换基本定理190

2.3 关于保距变换191

2.4 二次曲线在仿射变换下的像192

2.5 仿射变换的变积系数193

习题4.2195

§3 用坐标法研究仿射变换196

3.1 仿射变换的变换公式196

3.2 变换矩阵的性质200

3.3 仿射变换的不动点和特征向量203

3.4 保距变换的变换公式205

习题4.3207

§4 图形的仿射分类与仿射性质211

4.1 平面上的几何图形的仿射分类和度量分类211

4.2 仿射概念与仿射性质212

*4.3 几何学的分类214

习题4.4215

§5 空间的仿射变换与保距变换简介216

5.1 定义和线性性质217

5.2 空间仿射变换导出空间向量的线性变换217

5.3 空间仿射变换基本定理217

5.4 在规定的坐标系中空间仿射变换的变换公式219

5.5 不动点和特征向量220

5.6 空间的刚体运动220

习题4.5221

第五章 射影几何学初步222

§1 中心投影222

习题5.1228

§2 射影平面230

2.1 中心直线把与扩大平面230

2.2 扩大平面和中心直线把上的“线”结构231

2.3 点与线的关联关系232

2.4 射影平面的定义233

习题5.2234

§3 交比235

3.1 普通几何中的交比235

3.2 中心直线把和扩大平面上的交比240

3.3 调和点列和调和线束243

习题5.3244

§4 射影坐标系246

4.1 中心直线把上的射影坐标系247

4.2 扩大平面上的射影坐标系249

4.3 扩大平面上的仿射射影坐标系251

4.4 射影坐标的应用252

4.5 对偶原理256

习题5.4258

§5 射影坐标变换与射影变换260

5.1 射影坐标变换261

5.2 射影映射和射影变换263

5.3 射影映射基本定理265

5.4 射影变换公式和变换矩阵266

习题5.5269

6.1 射影平面上的二次曲线及其矩阵271

§6 二次曲线的射影理论271

6.2 二次曲线的射影分类273

6.3 两点关于圆锥曲线的共轭关系275

6.4 配极映射278

6.5 几个著名定理282

习题5.6284

附录 行列式与矩阵286

一、行列式286

二、矩阵289

习题答案和提示294