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第1章 数值计算原理与计算精确度1

1 数值计算的一般原理1

1-1 数学问题与数值计算1

1-2 数值问题与算法2

1-3 数值计算的共同思想和方法4

2 数值计算中的精确度分析9

2-1 误差来源与误差估计问题9

2-2 算法的数值稳定性11

2-3 病态问题与条件数14

3 并行算法及其基本概念16

3-1 并行算法及其分类16

3-2 并行算法基本概念19

3-3 并行算法设计与二分技术21

评注25

习题26

数值实验题28

第2章 数值逼近与数值积分37

1 函数逼近的基本概念37

1-1 数值逼近与函数空间37

1-2 范数与赋范空间39

1-3 函数逼近与插值40

1-4 内积与正交多项式42

2-1 最佳平方逼近与勒让德展开50

2 多项式逼近50

2-2 曲线拟合的最小二乘法56

2-3 最佳一致逼近与切比雪夫展开60

3 多项式插值与样条插值66

3-1 多项式插值及其病态性质66

3-2 三次样条插值72

3-3 B-样条函数77

4 有理逼近82

4-1 有理逼近与连分式82

4-2 有理插值84

4-3 帕德逼近88

5-1 代数精确度与高斯型求积公式95

5 高斯型求积公式95

5-2 高斯-勒让德求积公式102

5-3 高斯-切比雪夫求积公式104

5-4 固定部分节点的高斯型求积公式105

6 积分方程数值解107

7 奇异积分与振荡函数积分计算109

7-1 反常积分的计算109

7-2 无穷区间积分113

7-3 振荡函数积分115

8-1 蒙特卡罗方法及其收敛性118

8 计算多重积分的蒙特卡罗方法118

8-2 误差估计122

8-3 方差缩减法123

8-4 分层抽样法125

8-5 等分布序列127

评注128

习题129

数值实验题134

1 引言、线性代数的一些基础知识140

1-1 引言140

第3章 线性代数方程组的数值解法140

1-2 向量空间和内积141

1-3 矩阵空间和矩阵的一些性质143

1-4 向量的范数145

1-5 矩阵的范数146

1-6 初等矩阵151

2 Gauss消去法和矩阵的三角分解153

2-1 Gauss顺序消去法154

2-2 矩阵的三角分解、直接三角分解解法156

2-3 选主元的消去法和三角分解160

2-4 对称正定方程组163

3-1 矩阵的条件数与扰动方程组的误差界165

3 矩阵的条件数与病态方程组165

3-2 病态方程组的解法170

4 大型稀疏方程组的直接方法171

4-1 稀疏矩阵及其存储171

4-2 稀疏方程组的直接方法介绍177

4-3 带状方程组的三角分解方法181

4-4 三对角和块三对角方程组的追赶法和循环约化方法185

5 迭代法的一般概念191

5-1 向量序列和矩阵序列的极限191

5-2 迭代法的构造193

5-3 迭代法的收敛性和收敛速度197

5-4 J法和GS法的收敛性201

6 超松驰迭代法204

6-1 超松弛迭代法和对称超松弛迭代法204

6-2 超松弛迭代法的收敛性207

6-3 块迭代方法211

6-4 模型问题的红黑排序213

7 极小化方法215

7-1 与方程组等价的变分问题216

7-2 最速下降法217

7-3 共轭梯度法218

7-4 预处理共轭梯度方法224

7-5 多项式预处理226

评注230

习题231

数值实验题238

第4章 非线性方程组数值解法242

1 引言242

1-1 非线性方程组求解问题242

1-2 几类典型非线性问题245

2 向量值函数的导数及其性质248

2-1 连续与可导248

2-2 导数性质与中值定理251

3 压缩映射与不动点迭代法252

3-1 压缩映射与不动点定理252

3-2 不动点迭代法及其收敛性255

4 牛顿法与牛顿型迭代法259

4-1 牛顿法及其收敛性259

4-2 牛顿法的变形与离散牛顿法263

4-3 牛顿松弛型迭代法267

5 拟牛顿法与Broyden方法270

5-1 拟牛顿法基本思想270

5-2 秩1拟牛顿法与Broyden方法271

6-1 延拓法基本思想275

6 延拓法275

6-2 数值延拓法277

6-3 参数微分法279

7 并行多分裂方法282

7-1 线性多分裂方法282

7-2 非线性多分裂方法285

8 非线性最小二乘问题数值方法291

评注295

习题296

数值实验题299

1-1 特征值问题的性质303

1 特征值问题的性质和估计303

第5章 矩阵特征值问题的计算方法303

1-2 特征值的估计305

1-3 特征值的扰动307

2 正交变换和矩阵分解308

2-1 Householder变换308

2-2 Givens变换311

2-3 矩阵的QR分解312

2-4 矩阵的Schur分解316

2-5 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形318

3 幂迭代法和逆幂迭代法322

3-1 幂迭代法322

3-2 加速技术(Aitken方法)325

3-3 收缩方法327

3-4 逆幂迭代法328

4 QR算法330

4-1 QR迭代的基本算法和性质330

4-2 Hessenberg矩阵的QR方法332

4-3 带有原点位移的QR方法334

4-4 双重步QR方法337

5 对称矩阵特征值问题的计算342

5-1 对称QR方法342

5-2 Rayleigh商加速和Rayleigh商迭代344

5-3 Lanczos方法346

评注349

习题350

数值实验题354

第6章 常微分方程数值方法356

1 初值问题数值方法356

1-1 数值方法概述356

1-2 局部截断误差与相容性359

1-3 收敛性与稳定性363

1-4 绝对稳定性与绝对稳定域367

2-1 刚性方程组372

2 刚性微分方程及其数值方法的稳定性概念372

2-2 稳定性概念的扩充377

3 解刚性方程的线性多步法379

3-1 吉尔方法及其改进379

3-2 含二阶导数的线性多步法381

3-3 隐性问题与迭代法383

4 隐式龙格-库塔法384

4-1 龙格-库塔法的一般结构384

4-2 基于数值求积公式的隐式RK方法386

4-3 稳定性函数与隐式RK方法的A-稳定性391

4-4 对角隐式RK方法393

5 非线性方法395

6 边值问题数值方法398

6-1 打靶法399

6-2 差分法402

评注407

习题408

数值实验题411

附录A 数学软件Matlab入门416

附录B Matlab的工具箱433

附录C 其他数学软件工具概览438

参考文献450

索引454