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第1章 引论、准备知识1

1 引论1

2 关于偏微分方程的一些基本概念2

2.1 几个典型方程2

2.2 定解问题5

2.3 二阶方程5

2.4 一阶方程组8

3 Fourier变换和复数矩阵10

3.1 Fourier变换10

3.2 复数矩阵12

第2章 有限差分方法的基本概念13

1 有限差分格式13

1.1 网格剖分13

1.2 用Taylor级数展开方法建立差分格式14

1.3 积分方法17

1.4 隐式差分格式18

2 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性19

2.1 有限差分格式的截断误差19

2.2 有限差分格式的相容性22

2.3 有限差分格式的收敛性23

2.4 有限差分格式的稳定性25

2.5 Lax等价定理27

3 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法28

3.1 Fourier方法28

3.2 判别准则31

3.3 例子34

4 研究有限差分格式稳定性的其他方法37

4.1 Hirt启示性方法37

4.2 直接方法38

4.3 能量不等式方法42

习题43

第3章 双曲型方程的有限差分方法45

1 一阶线性常系数双曲型方程45

1.1 迎风格式45

1.2 Lax-Friedrichs格式46

1.3 Lax-Wendroff格式48

1.4 Courant-Friedrichs-Lewy条件49

1.5 利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式50

1.6 蛙跳格式52

1.7 数值例子53

2 一阶线性常系数方程组54

2.1 Lax-Friedrichs格式54

2.2 Lax-Wendroff格式55

2.3 迎风格式55

3 变系数方程及方程组56

3.1 变系数方程56

3.2 变系数方程组59

4 二阶双曲型方程60

4.1 波动方程的初值问题60

4.2 波动方程的显式格式61

4.3 波动的方程差分格式的C.F.L条件63

4.4 等价方程组的差分格式65

5 双曲型方程及方程组的初边值问题65

5.1 二阶双曲型方程的边界处理66

5.2 一阶双曲型方程及方程组的边界条件68

5.3 一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理69

6 二维问题73

6.1 一阶双曲型方程73

6.2 一阶双曲型方程组76

6.3 隐式格式和ADI格式77

7 非线性方程80

7.1 守恒律的初值问题80

7.2 Lax-Friedrichs差分格式83

7.3 守恒型差分格式84

习题86

第4章 抛物型方程的有限差分方法89

1 常系数扩散方程89

1.1 向前差分格式，向后差分格式89

1.2 加权隐式格式90

1.3 三层显式格式91

1.4 三层隐式格式94

1.5 跳点格式95

2 初边值问题97

2.1 第一类边界条件97

2.2 第三类边界条件97

2.3 数值例子98

2.4 关于稳定性分析的附注101

2.5 Saul′ev算法101

2.6 分组显式方法103

3 对流扩散方程103

3.1 中心显式格式104

3.2 修正中心显式格式105

3.3 迎风差分格式106

3.4 Samarskii格式107

3.5 指数型差分格式109

3.6 隐式格式111

3.7 特征差分格式112

4 变系数方程114

4.1 Taylor级数展开方法114

4.2 Keller盒式格式115

4.3 有限体积法116

4.4 间断系数问题118

4.5 隐式方程的解法119

5 多维问题120

5.1 一维格式的直接推广121

5.2 交替方向隐式格式122

5.3 局部一维格式124

5.4 预测-校正格式125

5.5 跳点格式126

5.6 三维问题127

6 非线性方程129

6.1 Richtmyer线性化方法130

6.2 拟线性扩散方程的隐式格式131

6.3 三层格式133

6.4 预估-校正方法134

习题136

第5章 椭圆型方程的差分方法138

1 Poisson方程138

1.1 五点差分格式138

1.2 九点差分格式140

1.3 极坐标下的差分格式141

2 差分格式的性质143

2.1 存在惟一性问题143

2.2 差分方程解的收敛性144

3 边界条件的处理146

3.1 矩形区域146

3.2 一般区域147

4 变系数方程149

4.1 直接差分方法150

4.2 有限体积法150

5 双调和方程151

6 特征值问题152

习题153

第6章 数学物理方程的变分原理155

1 变分问题介绍155

1.1 古典变分问题155

1.2 变分问题解的必要条件157

1.3 Rn中的变分问题160

2 一维数学物理问题的变分问题162

2.1 两点边值问题的变分形式163

2.2 非齐次约束边界条件的处理166

2.3 第二、三类边界条件167

3 高维数学物理问题的变分问题167

3.1 第一类边值问题的变分问题168

3.2 其他边值问题170

3.3 间断系数问题——有内边界的情形171

3.4 重调和方程边值问题的变分问题173

4 变分问题的近似计算174

4.1 Ritz方法174

4.2 Galerkin方法176

4.3 古典变分方法的数值例子176

5 权余量方法及其他方法178

习题181

第7章 有限元离散方法185

1 一维问题的有限元方法、线性元185

1.1 单元剖分及试探函数空间的构造186

1.2 有限元方程的形成187

1.3 数值例子193

2 二维问题、三角形线性元195

2.1 单元剖分及试探函数空间的构造196

2.2 有限元方程的形成200

2.3 例子207

3 高次插值211

3.1 一维问题的高次插值211

3.1.1 Lagrange插值211

3.1.2 Hermite插值214

3.2 二维问题三角形元的高次插值216

3.2.1 线性插值和面积坐标217

3.2.2 二次插值219

3.2.3 三次插值220

3.3 二维问题的矩形元221

3.3.1 双线性插值221

3.3.2 双二次插值222

3.3.3 Hermite插值223

3.4 等参数单元223

3.4.1 任意四边形单元224

3.4.2 等参数单元的概念和例226

习题227

第8章 其他一些课题230

1 基于变分原理的差分格式230

1.1 一维问题230

1.2 二维问题233

2 抛物型方程的有限元方法236

3 一些非线性问题239

3.1 非线性问题的一个例子239

3.2 变分不等方程简介241

3.2.1 Rn中光滑函数的最小问题241

3.2.2 障碍问题242

3.2.3 水坝的渗流问题243

4 特征值问题的变分形式及有限元方法245

4.1 特征值问题245

4.2 特征值问题的Galerkin变分形式248

4.3 特征值问题的极小形式248

4.4 特征值问题的有限元方法250

4.5 例子253

5 边界元方法255

5.1 基本的边界积分关系式256

5.2 边界元近似258

5.3 数值例子261

6 多重网格方法264

6.1 模型问题，迭代法的分析264

6.1.1 一维和二维的模型例子264

6.1.2 网格方程迭代法的分析265

6.1.3 两层网格方程组的联系268

6.2 二重网格方法269

6.2.1 粗、细网上函数值的转移269

6.2.2 二重网格上的一个循环270

6.3 多重网格方法271

6.3.1 多重网格的一个V循环271

6.3.2 完全的多重网格方法272

习题273

索引275

参考文献278