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第一章 自然数6

1．整数计算7

2．数系的无限性．数学归纳法15

补充数论27

1．素数28

2．同余39

3．毕达哥拉斯数和费马大定理48

4．欧几里得辗转相除法51

1．有理数61

第二章 数学的数系61

2．不可通约线段．无理数．极限概念67

3．解析几何摘要83

4．无限的数学分析87

5．复数99

6．代数数和超越数114

补充集的代数119

第三章 几何作图法．数域的代数129

1．基本的几何作图题132

第一部分 不可能性的证明和代数132

2．可构成的数和数域139

3．希腊三大问题的不可解性147

第二部分 各种不同的作图法154

4．几何变换．反演154

5．用其他工具作图法．马斯歇洛尼单用圆规作图法160

6．再论反演及其应用172

第四章 射影几何．公理系统．非欧几何学179

1．引言179

2．基本概念182

3．交比186

4．平行性与无穷远195

5．应用201

6．解析表达式208

7．有关单用直尺作图的问题213

8．二次曲线和二次曲面215

9．公理系统和非欧几何学230

补充高于三维的几何243

第五章 拓扑学251

1．多面体的欧拉公式252

2．图形的拓扑性质257

3．拓扑定理的其他例子261

4．曲面的拓扑分类274

补充281

第六章 函数与极限289

1．变量与函数290

2．极限307

3．连续趋近的极限322

4．连续性的精确定义330

5．连续函数的两个基本定理333

6．波尔泰诺定理的若干应用338

补充关于极限与连续性的若干例343

1．极限的例343

2．连续性的例350

第七章 极大和极小351

1．初等几何的问题352

2．极值问题的一般原理361

3．平稳点与微分学364

4．许瓦尔兹三角形问题369

5．史坦纳问题378

6．极值和不等式385

7．极值的存在性．狄利克雷原理391

8．等周问题397

9．具有边界条件的等周问题．史坦纳问题与等周问题之间的联系401

10．变分法404

11．极小问题的实验解．肥皂膜实验410

第八章 微积分422

1．积分424

2．导数440

3．微分法的技巧454

4．莱布尼兹的符号与“无穷小”460

5．微积分的基本定理463

6．指数函数与对数470

7．微分方程483

补充491

1．原则性的问题491

2．数量级498

3．无穷级数和无穷乘积502

4．通过统计方法得到素数定理514

附录补充注解．问题和练习518