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第1部分 高等数学2

第1章 函数、极限、连续2

考点1.1.1函数的概念与性质2

题型1.1.1.1求分段函数的复合函数2

题型1.1.1.2判定数列或函数在区间上的有界性3

考点1.1.2极限的概念与性质4

题型1.1.2.1判定极限的存在性4

题型1.1.2.2讨论极限的性质5

考点1.1.3求函数极限6

题型1.1.3.1求0/0或∞/∞型极限6

题型1.1.3.2求∞—∞型极限7

题型1.1.3.3求幂指函数型极限8

题型1.1.3.4求极限式含幂指函数的极限9

题型1.1.3.5求极限式含指数函数差的极限10

题型1.1.3.6求极限式含lnf（x）的函数极限，其中limx→□f（x）=111

题型1.1.3.7求含有界变量为因子的函数极限12

题型1.1.3.8求幂指函数型的数列极限12

考点1.1.4确定未知参（函）数13

题型1.1.4.1已知极限式的极限，反求其所含的未知参数13

题型1.1.4.2已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限15

考点1.1.5无穷小量或无穷大量的比较16

题型1.1.5.1无穷小量阶的比较16

题型1.1.5.2确定无穷小量的阶数16

题型1.1.5.3无穷大量阶的比较18

考点1.1.6讨论函数的连续性及间断点的类型18

题型1.1.6.1讨论函数的连续性18

题型1.1.6.2判别函数f（x）的间断点的类型20

题型1.1.6.3已知分段函数的连续性求其待定常数22

考点1.1.7连续函数性质的应用23

题型1.1.7.1介值定理（零点定理）的应用23

第2章 一元函数微分学24

考点1.2.1导数定义的应用24

题型1.2.1.1讨论函数在某点的可导性24

题型1.2.1.2讨论分段函数的可导性及导函数的连续性26

题型1.2.1.3利用导数定义求极限或导数27

考点1.2.2求一元函数的导数和微分28

题型1.2.2.1求各类一元函数的各阶导数28

题型1.2.2.2微分的概念与计算30

考点1.2.3利用导数讨论函数性态31

题型1.2.3.1确定单调区间与极值31

题型1.2.3.2已知一极限式，讨论函数是否取得极值34

题型1.2.3.3求函数曲线的凹凸区间与拐点35

题型1.2.3.4求函数曲线的渐近线37

题型1.2.3.5确定函数方程存在实根及其个数问题38

考点1.2.4微分中值定理的应用40

题型1.2.4.1利用微分中值定理的条件与结论解题40

题型1.2.4.2使用罗尔定理证明中值等式41

题型1.2.4.3证明中值等式f’（ξ）士g’（ξ）f（ξ）=044

题型1.2.4.4证明与函数差值有关的中值命题46

题型1.2.4.5证明存在多个中值所满足的中值等式46

题型1.2.4.6证明函数与其导数的关系49

题型1.2.4.7利用导数证明不等式50

考点1.2.5一元函数微分学的几何应用52

题型1.2.5.1求曲线的切线和（或）法线方程52

题型1.2.5.2求解与两曲线相切的有关问题52

题型1.2.5.3求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题53

考点1.2.6导数在经济活动分析中的应用54

题型1.2.6.1计算与弹性有关的问题54

题型1.2.6.2计算与边际和弹性有关的应用题55

题型1.2.6.3求解经济应用中一元函数的最值问题57

第3章 一元函数积分学59

考点1.3.1原函数与不定积分的关系59

题型1.3.1.1原函数与不定积分的概念及其性质59

题型1.3.1.2连续函数f（x）与其原函数F（x）即f（x）与f’（x）的性质之间的关系59

考点1.3.2计算不定积分60

题型1.3.2.1计算分母含根号因子的无理函数的不定积分（定积分）60

题型1.3.2.2求简单无理函数的不定积分61

题型1.3.2.3求被积函数含反三角函数、对数函数为因子函数的不定积分62

考点1.3.3计算定积分63

题型1.3.3.1利用定积分的几何意义计算定积分63

题型1.3.3.2计算对称区间[—a，a]上的定积分64

题型1.3.3.3计算被积函数含导函数的积分66

题型1.3.3.4计算∫baf[ψ（x）]dx66

题型1.3.3.5求解函数方程，该方程含积分区间（区域）确定的未知函数的定（二重）积分67

题型1.3.3.6比较定积分值的大小68

题型1.3.3.7计算周期函数的定积分69

考点1.3.4求解与变限积分有关的问题71

题型1.3.4.1求变限积分的导数71

题型1.3.4.2求含变限积分的未定式极限72

题型1.3.4.3讨论变限积分函数的性态72

考点1.3.5有关定积分的证明74

题型1.3.5.1证明定积分的等式74

题型1.3.5.2证明定积分的不等式75

考点1.3.6计算反常积分（广义积分）77

题型1.3.6.1计算无穷区间上的反常积分77

题型1.3.6.2计算无界函数的反常积分78

考点1.3.7一元函数积分学的应用79

题型1.3.7.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积79

题型1.3.7.2求旋转体体积81

题型1.3.7.3求解与最值问题相结合的几何应用题82

题型1.3.7.4由边际函数求总函数83

第4章 多元函数微积分学85

考点1.4.1二元（多元）函数微分学中的基本概念85

题型1.4.1.1二元函数极限、连续、可偏导及可微的基本概念85

题型1.4.1.2二元函数的极限、连续、可偏导及可微的关系86

考点1.4.2计算复合函数的偏导数87

题型1.4.2.1计算二元（多元）显函数的偏导数（的值）87

题型1.4.2.2求带抽象函数记号的复合函数的偏导数88

考点1.4.3求二元函数的全微分91

题型1.4.3.1求二元显函数的全微分92

题型1.4.3.2求多元隐函数的偏导数及其全微分94

考点1.4.4多元函数微分学的应用96

题型1.4.4.1求二元函数的极值（无条件极值）和最值96

题型1.4.4.2求二（多）元函数的条件极值97

考点1.4.5计算二重积分101

题型1.4.5.1根据积分区域选择积分次序计算二重积分101

题型1.4.5.2交换二次积分的积分次序102

题型1.4.5.3转换二次积分（转换坐标系）103

题型1.4.5.4利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算103

题型1.4.5.5分块计算二重积分106

题型1.4.5.6计算简单无界区域上的二重积分110

题型1.4.5.7讨论二重积分的不等式112

考点1.4.6计算圆域上的二重积分112

题型1.4.6.1计算圆域x2+y2≤a2（a〉0）上的二重积分112

题型1.4.6.2计算圆域x2+y2≤2ax（a〉0）上的二重积分113

题型1.4.6.3计算圆域x2+y2≤2by（b〉0）上的二重积分114

题型1.4.6.4计算圆域x2+y2≤—2by（b〉0）上的二重积分115

题型1.4.6.6计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分116

第5章 无穷级数117

考点1.5.1判别（证明）常数项级数的敛散性117

题型1.5.1.1判别正项级数的敛散性117

题型1.5.1.2判别交错级数的敛散性118

题型1.5.1.3判别任意项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛119

题型1.5.1.4已知数项级数的敛散性，确定其参数的取值范围122

考点15.2幂级数122

题型1.5.2.1求幂级数的收敛半径或（和）收敛域122

题型1.5.2.2求幂级数的和函数124

题型1.5.2.3求数项级数的和128

考点1.5.3将函数展为幂级数131

题型1.5.3.1求函数在指定点的幂级数展开式132

题型1.5.3.2利用幂级数展开式求其和函数或数项级数的和133

第6章 常微分方程与差分方程136

考点1.6.1求解一阶线性微分方程136

题型1.6.1.1求解变量可分离的微分方程136

题型1.6.1.2求解齐次微分方程136

题型1.6.1.3求解一阶线性微分方程y’+p（x）y=q（x）137

题型1.6.1.4求解以分段函数为非齐次项或系数的一阶线性微分方程138

题型1.6.1.5求解可化为一阶微分方程的方程139

考点1.6.2求解未知函数出现在积分号内的方程140

题型1.6.2.1求解含变限积分的方程140

题型1.6.2.2求解含积分区域变化的二重积分的函数方程141

考点1.6.3求解二阶（高阶）常系数线性微分方程143

题型1.6.3.1确定二阶常系数非齐次线性微分方程特解形式143

题型1.6.3.2求解二阶常系数线性微分方程144

考点1.6.4微分方程的简单应用145

题型1.6.4.1求解与平面图形面积有关的问题145

题型1.6.4.2求解与旋转体体积有关的问题146

考点1.6.5一阶常系数线性差分方程148

题型1.6.5.1求解一阶常系数线性非齐次差分方程148

题型1.6.5.2一阶常系数线性非次差分方程的简单应用149

第2部分 线性代数151

第1章 行列式151

考点2.1.1计算数字型行列式151

题型2.1.1.1计算行和（或列和）相等的行列式151

题型2.1.1.2计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式152

题型2.1.1.3计算非零元素在平行于主对角线的三条线上的行列式153

考点2.1.2计算抽象矩阵的行列式155

题型2.1.2.1求解同阶矩阵A，B的线性组合的行列式|aA+bB|（a，b为常数）155

题型2.1.2.2计算零子块的四分块矩阵的行列式156

题型2.1.2.3利用方阵相乘的行列式性质计算行列式156

题型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式158

考点2.1.3克莱姆法则的应用158

题型2.1.3.1求方程组AX=b的唯一解或判定方程组AX=0只有零解158

题型2.1.3.2已知方程组An×nX=0只有零解或有非零解，确定待求常数159

第2章 矩阵160

考点2.2.1矩阵运算160

题型2.2.1.1利用矩阵乘法的结合律计算乘积矩阵160

题型2.2.1.2计算矩阵的高次幂160

题型2.2.1.3证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式161

题型2.2.1.4求元素已知的矩阵的逆矩阵161

考点2.2.2求解与伴随矩阵有关的问题164

题型2.2.2.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式164

题型2.2.2.2求（A*）-1或（A-1）165

题型2.2.2.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩165

题型2.2.2.4求伴随矩阵的表达式165

考点2.2.3求矩阵的秩168

题型2.2.3.1求数字型矩阵的秩168

题型2.2.3.2求抽象矩阵的秩168

题型2.2.3.3已知矩阵的秩，求其待定常数或其待定常数所满足的关系170

考点2.2.4求解矩阵方程171

题型2.2.4.1求解单个矩阵方程172

题型2.2.4.2求解矩阵方程组172

考点2.2.5求解与初等变换有关的问题173

题型2.2.5.1用初等矩阵表示初等变换173

题型2.2.5.2利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵或 运算后的矩阵174

题型2.2.5.3讨论等价矩阵的有关问题176

第3章 向量178

考点2.3.1向量的线性组合与线性表示178

题型2.3.1.1讨论一向量能否用一向量组线性表示178

题型2.3.1.2若向量β与向量组α1，α2，……，α5为抽象型的向量组（向量的具体元素未知），讨论β能否由该向量组线性表示180

题型2.3.1.3判别两数字型向量组，一组向量能否由另一组向量线性表出181

考点2.3.2向量组的线性相关性183

题型2.3.2.1判别（证明）向量组的线性相关性183

题型2.3.2.2已知一向量组线性无关，判定其线性组合的向量组的线性相关性184

题型2.3.2.3证明向量组线性无关186

题型2.3.2.4两个有线性关系的向量组的性质189

题型2.3.2.5已知向量组的线性相关性，求其待定常数190

题型2.3.2.6求向量组的极大线性无关组和向量组的秩192

第4章 线性方程组194

考点2.4.1线性方程组解的判定194

题型2.4.1.1判定齐次和非齐次线性方程组解的情况194

题型2.4.1.2已知线性方程组解的情况，求其参数195

考点2.4.2基础解系197

题型2.4.2.1基础解系的判定或证明197

题型2.4.2.2基础解系和特解的求法198

考点2.4.3求解线性方程组201

题型2.4.3.1求解不含参数的线性方程组的通解201

题型2.4.3.2求解含参数的齐次线性方程组202

题型2.4.3.3求解含参数的非齐次线性方程组205

题型2.4.3.4求解其通解满足一定条件的含参数的方程组208

考点2.4.4求（抽象）线性方程组的通解209

题型2.4.4.1 A没有具体给出，利用解的结构定理求AX=0的通解209

题型2.4.4.2利用线性方程组的向量形式求其通解210

考点2.4.5求两线性方程组的公共解211

题型2.4.5.1已知具体的线性方程组求其公共解212

题型2.4.5.2已知一个方程组的通解及另一具体方程组，求其（非零）公共解213

考点2.4.6讨论两方程组同解的有关问题214

题型2.4.6.1证明两齐次线性方程组同解214

题型2.4.6.2已知两线性方程组有公共非零解或同解，求其待定常数216

第5章 矩阵的特征值和特征向量219

考点2.5.1求矩阵的特征值、特征向量219

题型2.5.1.1求数字型矩阵的特征值和特征向量219

题型2.5.1.2求抽象矩阵的特征值、特征向量221

题型2.5.1.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量222

考点2.5.2使用特征值、特征向量求解有关问题223

题型2.5.2.1已知矩阵的特征值、特征向量，反求其矩阵的待定常数223

题型2.5.2.2已知矩阵的特征值、特征向量反求其矩阵223

题型2.5.2.3矩阵特征值的两条性质的应用226

考点2.5.3相似矩阵与相似对角化227

题型2.5.3.1判别两矩阵相似227

题型2.5.3.2判别方阵是否可相似对角化227

题型2.5.3.3利用相似矩阵的性质求矩阵中的参数229

考点2.5.4将矩阵化为相似对角矩阵231

题型2.5.4.1已知矩阵A可相似对角化，求可逆矩阵P使P-1 AP为对角矩阵231

题型2.5.4.2已知A可相似对角化，求对角矩阵A使P-1 AP=Λ232

考点2.5.5实对称矩阵性质的应用233

题型2.5.5.1已知实对称矩阵的部分特征向量，求另一部分特征向量233

题型2.5.5.2 A为实对称矩阵，求正交矩阵Q使Q-1AQ为对角矩阵234

题型2.5.5.3利用相似对角化求矩阵的高次幂235

第6章 二次型237

考点2.6.1二次型的几个基本概念237

题型2.6.1.1求二次型的矩阵表示237

题型2.6.1.2求二次型的秩238

考点2.6.2求解与化标准形有关的问题239

题型2.6.2.1用正交变换化二次型（实对称矩阵）为标准形（对角矩阵）239

题型2.6.2.2已知二次型的标准形（规范形），反求原二次型中的未知参数241

考点2.6.3判别实二次型（实对称矩阵）的正定性242

题型2.6.3.1判别二次型或其矩阵的正定性242

题型2.6.3.2确定参数值使二次型或其矩阵正定244

考点2.6.4合同矩阵与合同变换247

题型2.6.4.1判别（证明）两实对称矩阵合同247

第3部分 概率论与数理统计251

第1章 随机事件与概率251

考点3.1.1随机事件的关系及其运算法则251

题型3.1.1.1随机事件的关系251

题型3.1.1.2随机事件的运算及其性质252

考点3.1.2计算事件的概率252

题型3.1.2.1计算古典型概率252

题型3.1.2.2计算几何型概率253

题型3.1.2.3计算伯努利概型的概率255

考点3.1.3计算概率的几个常用公式的应用256

题型3.1.3.1计算概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式与减法公式的应用256

题型3.1.3.2全概率公式和贝叶斯公式的应用257

题型3.1.3.3全概率公式的应用257

考点3.1.4判别事件的独立性259

题型3.1.4.1判别（证明）两事件相互独立259

题型3.1.4.2判别（证明）n（n〉2）个事件相互独立259

第2章 一维随机变量及其分布261

考点3.2.1判别分布列、概率密度、分布函数261

题型3.2.1.1分布函数的判别261

题型3.2.1.2概率密度函数的判定262

考点3.2.2求分布律和分布函数262

题型3.2.2.1求离散型随机变量的分布律（概率分布）262

题型3.2.2.2求随机变量的分布函数263

题型3.2.2.3讨论分布函数的性质265

考点3.2.3利用分布计算事件的概率266

题型3.2.3.1利用分布函数计算事件的概率266

题型3.2.3.2利用常见分布计算概率266

考点3.2.4求与随机变量分布有关的参数268

题型3.2.4.1已知随机变量的分布求其参数268

题型3.2.4.2已知概率，计算区间参数或数字特征参数269

考点3.2.5求随机变量函数的分布271

题型3.2.5.1求连续型随机变量X的函数g（X）的分布271

题型3.2.5.2已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布272

第3章 二维随机变量及其分布275

考点3.3.1求二维离散随机变量的联合概率分布275

题型3.3.1.1给定随机试验，求离散型随机变量的联合分布275

题型3.3.1.2由随机事件或一对随机变量的分布，求出另一对随机变量的联合概率分布277

题型3.3.1.3在一定条件下，由X，Y的分布律求（X，Y）的联合分布律281

考点3.3.2求二维连续型随机变量的分布282

题型3.3.2.1已知分区域定义的联合密度，求其分布函数282

题型3.3.2.2由联合概率密度求其边缘概率密度283

题型3.3.2.3已知联合密度、边缘密度求其条件密度284

题型3.3.2.4由条件分布反求联合分布、边缘分布286

考点3.3.3二维随机变量函数的分布287

题型3.3.3.1求二维离散型随机变量函数的概率分布287

题型3.3.3.2求二维连续型随机变量函数的分布288

题型3.3.3.3求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型，另一个是离散型293

考点3.3.4求二维随机变量取值的概率295

题型3.3.4.1求二维离散型随机变量取值的概率295

题型3.3.4.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率296

考点3.3.5随机变量的独立性298

题型3.3.5.1判别两随机变量的独立性298

题型3.3.5.2利用两随机变量的独立性确定联合分布中的参数299

第4章 随机变量的数字特征301

考点3.4.1一维随机变量的数字特征301

题型3.4.1.1求一维随机变量的数学期望与方差301

题型3.4.1.2求一维随机变量函数的期望与方差302

考点3.4.2求二维随机变量的数字特征304

题型3.4.2.1求二维随机变量函数的数学期望和方差304

题型3.4.2.2计算协方差及相关系数305

题型3.4.2.3确定两随机变量的相关性311

考点3.4.3求解与数字特征有关的应用题311

题型3.4.3.1求解与数字特征有关的经济应用题311

题型3.4.3.2求解与数字特征有关的其他实际应用题312

第5章 大数定律和中心极限定理315

考点3.5.1切比雪夫不等式315

题型3.5.1.1用切比雪夫不等式估计事件的概率315

考点3.5.2大数定律315

题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件和结论解题315

考点3.5.3中心极限定理316

题型3.5.3.1应用列维-林德伯格中心极限定理的条件和结论解题317

题型3.5.3.2列维-林德伯格中心极限定理的应用318

题型3.5.3.3棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用319

第6章 数理统计的基本概念321

考点3.6.1求统计量的分布321

题型3.6.1.1判别或证明统计量服从x2分布321

题型3.6.1.2判别或证明统计量服从t分布322

题型3.6.1.3判别或证明统计量服从F分布324

考点3.6.2统计量的数字特征325

题型3.6.2.1求统计量的数字特征325

第7章 参数估计331

考点3.7.1参数的矩估计和极大似然估计331

题型3.7.1.1求参数的矩估计331

题型3.7.1.2求未知参数的极（最）大似然估计量（值）333

附录1997—2012年考研数学三试题337

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题337

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题338

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题340

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题341

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题343

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题344

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题346

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题347

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题349

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题351

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题352

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题354

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题356

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题357

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题359

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题360