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目录1

第1篇 初等数学1

1.1　绝对值1

题型一　计算含绝对值的代数式的值3

题型二　求解含绝对值的方程5

题型三　判别含绝对值的不等式9

习题1.111

1.2 比和比例13

题型一 求解与两个量成比例的有关问题14

题型二　求解与比例有关的实际应用题18

习题1.226

1.3　算术平均值和几何平均值30

题型一　求与平均值有关的参数值31

题型二　判别不等式33

题型三 利用平均值求函数的最大值、最小值34

题型四 求解与平均值有关的实际应用题36

习题1.337

1.4　一元一次方程和一元二次方程38

题型一 已知一元二次方程，求其根的代数式的值40

题型二 已知一元二次方程两根的某些关系，确定该方程43

题型三 已知一元二次方程根的性质，求方程中参数的取值范围46

题型四 求解对数方程和指数方程48

题型五　求解一元一次方程的实际应用题52

题型六　求解工程问题的实际应用题53

题型七 求解行程问题的实际应用题55

题型八　求解航运问题的实际应用题58

题型九　求解复利问题的实际应用题59

题型十　求解与浓度有关的化学应用题62

习题1.463

1.5　一元一次不等式、一元二次不等式69

题型一 利用不等式性质判别不等式70

题型二　求解一元一次不等式组73

题型三　求解一元二次不等式（组）75

题型四　求解含绝对值的不等式79

题型五　求解一元高次不等式81

题型六　求解无理不等式84

题型七　求解对数不等式86

题型八　求解指数不等式87

题型九　已知ax2+bx+c的取值情况，求其待定常数89

题型十　利用不等式求函数的定义域、值域和最值91

习题1.593

1.6　等差数列和等比数列96

题型一　判别数列为等差数列或等比数列100

题型二　求等差数列或等比数列的通项公式106

题型三　求等差数列或等比数列若干项的代数式的值109

题型四　求非等差数列或非等比数列的前n项和118

题型五　求解与等差数列或（和）等比数列有关的综合应用题122

题型六　应用等差数列或等比数列求解实际应用题128

习题1.6129

第2篇 微积分135

2.1　函数、极限、连续135

2.1.1 函数135

题型一　求函数的定义域139

题型二 已知af(g(x))+bf(？(x))=h(x)，求f(x)140

题型三　求反函数的表达式141

题型四　求分段函数的复合函数143

题型五　判别函数的单调性144

题型六　判别函数的周期性146

题型七　判别函数的奇偶性147

题型八　奇、偶函数的几个性质的应用152

2.1.2　极限154

题型一　判别极限的存在性158

题型二　求？型或？型极限160

题型三　求0·∞型极限167

题型四　求∞-∞型极限168

题型五　求幂指函数的极限168

题型六　求几类形式特殊的函数极限175

题型七　判别无穷小量与无穷大量178

题型八 比较无穷小的阶179

题型九　求极限式中的待定常数181

题型十 已知含未知函数的一（些）极限，求与该函数有关的极限183

2.1.3　函数的连续性185

题型一　讨论函数的连续性187

题型二　讨论极限函数的连续性190

题型三　用零点定理讨论方程根的存在性192

习题2.1194

2.2　一元函数微分学199

2.2.1　导数与微分199

题型一　用导数定义求某些分式函数的极限199

题型二　讨论函数在某点的可导性202

题型三　讨论几类形式特殊的函数的可导性205

题型四　求一元函数的导数207

题型五　求函数在指定点的导数值212

题型六　求一元函数的微分215

题型七 已知函数在某点连续或可导，求其待定常数217

2.2.2　导数的应用219

题型一　求曲线的切线方程219

题型二　求解相关变化率问题223

题型三　判别函数的单调性并求其单调区间224

题型四　求一元函数的极值227

题型五　判别函数在某点是否取得极值229

题型六　求函数在给定区间上的最值232

题型七　求解最值问题的应用题234

题型八　判别函数图形的凹凸性235

题型九　判别拐点237

题型十 已知函数的极（最）值点或（和）拐点，求该函数中的待定常数239

题型十一 由所给函数的图形确定相关函数的性质241

题型十二　讨论方程的根或函数零点的个数243

题型十三　利用导数判别不等式250

习题2.2253

2.3　一元函数积分学260

2.3.1　原函数与不定积分260

题型一　求解与原函数有关的问题261

题型二　简化计算有理函数的积分264

题型三　计算被积函数含根式的积分266

题型四　计算被积函数仅含指数函数类的积分271

题型五　计算？（k为实数且不等于1）274

习题2.3.1276

2.3.2　计算定积分278

题型一　利用定积分的几何意义计算定积分279

题型二　计算对称区间上的定积分280

题型三　利用周期函数性质计算定积分283

题型四 比较和估计定积分的大小285

题型五　使用分部积分法计算的几类定积分287

题型六　求需换元计算的定积分291

题型七　计算几类需分子区间积分的定积分294

题型八　求解含积分值为常数的函数方程296

习题2.3.2297

2.3.3　求解与变限定积分有关的问题300

题型一　求变限定积分的导数301

题型二　计算被积函数为变限定积分的定积分304

题型三　求被积函数为分段函数的变限定积分304

题型四　讨论由变限积分所确定的函数的性态307

题型五 由变限定积分所满足的函数方程求未知函数或其积分值309

习题2.3.3311

2.3.4　定积分的应用313

题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积313

题型二 已知曲线所围平面图形的面积确定有关待定常数321

题型三　求函数在区间上的平均值322

习题2.3.4323

2.4　多元函数的微分学325

2.4.1 多元函数一阶偏导数的计算326

题型一　计算二（多）元显函数的偏导数328

题型二　求二元显函数的偏导数在某点的值329

题型三　计算复合函数的偏导数330

题型四　求带绝对值的函数的偏导数334

习题2.4.1335

2.4.2　二元函数极值的判定与求法337

题型一　判别二元函数的极值338

题型二　求二元函数的极值340

题型三　求简单的实际问题的最大值、最小值341

习题2.4.2345

3.1.1　行列式计算347

3.1　行列式347

第3篇 线性代数347

题型一　利用行列式定义计算行列式353

题型二　利用对角线法则计算三阶行列式353

题型三　计算行列式的若干常用方法355

题型四 计算行（列）和相等的行列式364

题型五　求解行列式方程366

题型六　求代数余子式之和的值370

习题3.1.1374

3.1.2　克莱姆法则378

题型一　使用克莱姆法则求解方程个数与未知数个数相等的非齐次线性方程组379

题型二 判别方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解380

题型三 确定方程个数与未知数个数相等的线性方程组的系数行列式中的待定常数381

习题3.1.2383

3.2　矩阵385

3.2.1　矩阵的运算及其运算律385

题型一　利用矩阵的运算法则判别矩阵算式的正确性388

题型二　判别两矩阵是否可交换389

题型三　计算方阵的高次幂390

题型四　求与已知矩阵可交换的所有矩阵394

题型五　计算方阵的行列式396

题型六　讨论矩阵的对称性399

习题3.2.1401

3.2.2　逆矩阵403

题型一　利用逆矩阵的性质讨论有关矩阵等式的正确性405

题型二　讨论矩阵的可逆性408

题型三　矩阵元素给定，求其逆矩阵411

题型四　求解矩阵方程415

习题3.2.2422

3.3 向量425

3.3.1 向量组的线性相关性425

题型一　判别向量组的线性相关性425

题型二　判别解向量组的线性相关性432

题型三　判别用向量组线性表出的向量组的线性相关性434

习题3.3.1437

3.3.2　向量组的秩440

题型一　求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组441

题型二　将向量用极大线性无关组线性表示443

题型三　求抽象向量组的秩及其极大无关组445

题型四 判别一向量能否用向量组线性表出447

习题3.3.2452

3.3.3　矩阵的秩454

题型一　求元素具体给定的矩阵的秩455

题型二　求与乘积矩阵有关的矩阵的秩457

题型三　求与A＊有关的矩阵的秩460

题型四 已知矩阵的秩，求该矩阵的待定常数461

习题3.3.3464

题型一　判定齐次线性方程组解的情况466

3.4.1　齐次线性方程组466

3.4　线性方程组466

题型二　求齐次线性方程组的基础解系469

题型三　求（判定）齐次线性方程组AX=0的通解474

习题3.4.1476

3.4.2　非齐次线性方程组478

题型一　判定非齐次线性方程组解的情况478

题型二　求解非齐次线性方程组481

题型三　求抽象线性方程组的通解485

题型四　由其解反求方程组的参数或其系数矩阵490

题型五　求两线性方程组的非零公共解493

题型六　讨论两方程组同解的有关问题495

习题3.4.2497

3.5　矩阵的特征值与特征向量的概念501

题型一　求矩阵的特征值502

题型二　求矩阵的特征向量506

题型三 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量509

题型四 已知特征值或（和）特征向量，求矩阵中的待定常数514

习题3.5517

第4篇 概率论520

4.1　随机事件与概率520

4.1.1　随机事件及其运算520

题型一　描绘随机试验的样本空间521

题型二　用事件的运算表示事件523

题型三　判别事件间的关系527

习题4.1.1530

4.1.2　随机事件的概率532

题型一　计算古典型概率533

题型二　利用概率的性质计算事件的概率540

习题4.1.2550

4.1.3　条件概率与独立性553

题型一　用乘法公式求解实际应用题553

题型二　用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题555

题型三　判别事件的独立性557

题型四 利用事件的独立性计算事件的概率562

习题4.1.3563

4.1.4　计算独立试验序列概型的概率565

题型一 已知n和p，求事件A发生一定次数的概率566

题型二 已知事件A发生一定次数的概率，求p或（和）n567

题型三　求解独立试验序列中的等待时间问题568

题型四　计算抽样检验中的概率问题569

习题4.1.4570

4.2　随机变量571

4.2.1　随机变量及其分布572

题型一　求离散型随机变量的分布575

题型二　求连续型随机变量的分布和有关概率580

题型三　利用分布确定分布中的未知参数585

题型四 判别随机变量的概率函数、分布函数、概率密度函数589

题型五　求随机变量函数的概率分布591

习题4.2.1594

4.2.2　随机变量的数学期望和方差597

题型一　求随机变量的数学期望或（和）方差600

题型二 已知随机变量的数学期望或（和）方差，求其分布的待定常数604

题型三　求随机变量函数的数学期望605

题型四　求解与期望或方差有关的实际应用题606

习题4.2.2613

4.2.3　几种常用的分布614

题型一 求服从二项分布的随机变量取值的概率616

题型二 已知随机变量服从二项分布，且满足其他条件，确定分布参数619

题型三　计算服从二项分布的随机变量或其函数的期望、方差、标准差621

题型四　计算服从正态分布的随机变量落入区间内的概率623

题型五　求正态分布随机变量或其函数的期望与方差631

题型六　确定正态分布，使之满足一定要求632

习题4.2.3638

习题参考答案642