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5 多元函数微分学1

5.1 多元函数的极限与连续性1

5.1.1 预备知识1

5.1.2 多元函数的极限6

5.1.3 多元函数的连续性8

5.1.4 有界闭域上多元连续函数的性质9

习题5.110

5.2 偏导数11

5.2.1 偏导数的定义11

5.2.2 偏导数的几何意义14

5.2.3 向量函数的偏导数14

5.2.4 高阶偏导数14

习题5.216

5.3 可微性与全微分17

5.3.1 可微与全微分的定义17

5.3.2 函数的连续性、可偏导性与可微性的关系18

5.3.3 可微的充分条件20

5.3.4 全微分的应用22

习题5.323

5.4 求偏导法则24

5.4.1 多元复合函数求偏导法则24

5.4.2 一阶全微分形式不变性27

5.4.3 取对数求偏导法则28

5.4.4 隐函数存在定理与隐函数求偏导法则29

习题5.432

5.5 方向导数和梯度33

5.5.1 方向导数33

5.5.2 梯度35

习题5.537

5.6 二元函数微分中值定理38

5.6.1 二元函数的拉格朗日中值定理38

5.6.2 二元函数的泰勒公式39

习题5.640

5.7 偏导数的应用41

5.7.1 偏导数在几何上的应用41

5.7.2 二元函数的极值45

5.7.3 条件极值49

5.7.4 函数的最值52

5.7.5 最小二乘法53

习题5.755

复习题556

6 二重积分与三重积分58

6.1 二重积分58

6.1.1 曲顶柱体的体积与平面薄片的质量58

6.1.2 二重积分的定义与几何意义59

6.1.3 二重积分的性质60

6.1.4 含参变量的定积分63

6.1.5 二重积分的计算（累次积分法）64

6.1.6 改变累次积分的次序67

6.1.7 二重积分的计算（换元积分法）68

习题6.175

6.2 三重积分77

6.2.1 空间立体的质量77

6.2.2 三重积分的定义与性质77

6.2.3 三重积分的计算（累次积分法）79

6.2.4 改变累次积分的次序83

6.2.5 三重积分的计算（换元积分法）84

习题6.289

6.3 重积分的应用90

6.3.1 平面区域的面积91

6.3.2 立体的体积92

6.3.3 曲面的面积94

6.3.4 立体区域的质心96

习题6.397

6.4 反常重积分简介98

6.4.1 两类反常二重积分的定义98

6.4.2 两类反常二重积分的敛散性判别98

习题6.499

复习题6100

7 曲线积分与曲面积分101

7.1 曲线积分101

7.1.1 空间曲线的弧长101

7.1.2 对弧长的曲线积分102

7.1.3 对坐标的曲线积分105

习题7.1111

7.2 格林公式及其应用112

7.2.1 格林公式112

7.2.2 平面的曲线积分与路径无关的条件115

习题7.2119

7.3 曲面积分121

7.3.1 对面积的曲面积分121

7.3.2 双侧曲面124

7.3.3 对坐标的曲面积分125

习题7.3132

7.4 高斯公式及其应用133

7.4.1 高斯公式133

7.4.2 曲面积分与曲面无关的条件136

习题7.4138

7.5 斯托克斯公式及其应用139

7.5.1 斯托克斯公式139

7.5.2 空间的曲线积分与路径无关的条件142

习题7.5147

7.6 场论初步148

7.6.1 哈密顿算子148

7.6.2 散度149

7.6.3 旋度150

7.6.4 无旋场与势函数150

习题7.6152

复习题7152

8 数项级数与幂级数154

8.1 数项级数154

8.1.1 数项级数的基本概念154

8.1.2 收敛级数的性质157

8.1.3 正项级数敛散性判别159

8.1.4 任意项级数敛散性判别166

习题8.1171

8.2 幂级数174

8.2.1 函数项级数简介174

8.2.2 幂级数的收敛域与收敛半径175

8.2.3 幂级数的性质180

8.2.4 幂级数的和函数（Ⅰ）181

8.2.5 初等函数的幂级数展式183

8.2.6 幂级数的和函数（Ⅱ）188

8.2.7 幂级数的应用190

习题8.2192

8.3 傅里叶级数193

8.3.1 傅氏系数与傅氏级数194

8.3.2 傅氏级数的和函数196

8.3.3 周期为2l的函数的傅氏级数198

8.3.4 正弦级数与余弦级数200

习题8.3201

复习题8202

9 微分方程203

9.1 微分方程基本概念203

9.1.1 微分方程的定义与分类203

9.1.2 微分方程的通解与特解205

习题9.1205

9.2 一阶微分方程206

9.2.1 变量可分离的方程206

9.2.2 齐次方程208

9.2.3 一阶线性方程209

9.2.4 全微分方程211

9.2.5 可用变量代换法求解的一阶微分方程212

习题9.2214

9.3 二阶微分方程215

9.3.1 可降阶的二阶方程215

9.3.2 二阶线性方程通解的结构217

9.3.3 二阶常系数线性齐次方程的通解221

9.3.4 二阶常系数线性非齐次方程的特解与通解（待定系数法）224

9.3.5 二阶常系数线性非齐次方程的特解（常数变易法）229

9.3.6 特殊的二阶变系数线性方程231

习题9.3233

9.4 微分方程的应用234

9.4.1 一阶微分方程的应用题234

9.4.2 二阶微分方程的应用题237

习题9.4239

复习题9240

习题答案与提示242

附录 微积分课程教学课时安排建议254