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第一章 矢量分析1

1.1 标量场的梯度1

一、方向导数1

理论物理自学丛书前言1

二、梯度3

三、有关梯度的一些运算规则6

四、等量面(线)和梯度7

1.2 矢量场的散度9

一、矢量线9

二、通量9

三、散度10

四、有关散度的一些运算规则14

一、环量16

1.3 矢量场的旋度16

二、绕轴线的旋度17

三、斯托克斯公式21

四、旋度23

五、有关旋度的一些运算规则26

1.4 无散场和无旋场28

一、无散场(管量场)29

二、无旋场(有势场)31

1.5 正交曲线坐标系35

一、柱面坐标36

二、平面极坐标39

三、球面坐标40

本章小结43

习题44

第二章 复变函数46

2.1 复数和复数运算46

一、复数及其三种表示法46

二、复数的运算48

三、无限远点51

2.2 复变函数52

一、复变数·函数·区域52

二、初等复变函数52

三、多值函数·里曼面55

四、实变函数论的直接移植56

二、科希-里曼方程57

一、导数57

2.3 复变函数的导数57

三、导数的几何意义59

2.4 解析函数61

一、共轭调和函数61

二、正交曲线网64

2.5 科希定理与科希公式66

一、科希定理67

二、科希公式70

2.6 级数展开式72

一、复数项级数概述72

二、泰勒级数74

三、罗朗级数76

四、奇点的分类80

2.7 残数定理及其应用81

一、残数定理81

二、极点的残数之计算82

三、∫20Rπ(cosθ，sinθ)dθ型的积分85

四、∫?f(x)dx型的积分87

五、约当引理89

六、∫F(x)cosmxdx和∫?0 G(x)sinmxdx 型的积分90

七、实轴上有单极点的情况92

本章小结94

习题95

第三章 数学物理定解问题101

3.1 数学物理方程的导出101

一、均匀弦的横振动102

二、均匀杆的纵振动103

三、传输线方程(电报方程)104

四、其他振动方程106

五、热传导方程106

六、扩散方程108

七、稳定温度分布108

八、稳定浓度分布109

九、静电场方程109

十、其他例子109

3.2 数学物理方程的分类110

一、线性二阶偏微分方程110

二、两个自变数的方程的分类111

三、多自变数的方程的分类114

四、常系数线性方程115

3.3 定解条件116

一、初始条件116

二、边界条件117

三、衔接条件119

3.4 定解问题是一个整体119

一、达朗伯公式120

二、定解问题是一个整体123

三、定解问题的适定性123

本章小结125

习题125

一、分离变数法介绍128

4.1 齐次方程的分离变数法128

第四章 分离变数法基础128

二、傅里叶级数法133

三、例题135

4.2 非齐次振动方程和输运方程151

一、傅里叶级数法151

二、冲量定理法153

三、冲量定理的物理思想160

4.3 非齐次边界条件之处理161

4.4 泊松方程163

本章小结168

习题168

5.1 特殊函数常微分方程171

一、拉普拉斯方程△u=o171

第五章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题171

二、波动方程178

三、输运方程179

四、亥姆霍兹方程△ν+K2v＝0179

5.2 常点邻域上的级数解法182

一、常点邻域上的级数解法183

二、勒让德方程·自然边界条件188

5.3 正则奇点邻域上的级数解法193

一、正则奇点邻域上的级数解法193

二、贝塞耳方程198

5.4 斯特姆-刘维本征值问题206

一、斯特姆-刘维本征值问题207

二、斯特姆-刘维本征值问题的共同性质209

三、广义傅里叶级数212

四、复数的本征函数族213

本章小结214

习题215

第六章 球函数218

6.1 轴对称球函数218

一、勒让德多项式219

二、勒让德多项式的正交关系225

三、勒让德多项式的模226

四、广义博里叶级数228

五、拉普拉斯方程的轴对称定解问题232

六、母函数和递推公式239

6.2 缔合勒让德函数244

一、缔合勒让德函数245

二、缔合勒让德函数的正交关系248

三、缔合勒让德函数的模249

四、广义傅里叶级数250

6.3 一般的球函数254

一、球函数254

二、球函数的正交关系255

三、球面上的函数展开256

本章小结259

习题260

第七章 柱函数262

一、贝塞耳函数263

7.1 贝塞耳函数(第一类柱函数)263

二、贝塞耳函数的正交关系267

三、贝塞耳函数的模267

四、傅里叶-贝塞耳级数269

五、拉昔拉斯方程的定解问题272

六、母函数、积分表示和渐近公式277

7.2 诺埃曼函数(第二类柱函数)279

7.3 汉克函数(第三类柱函数)282

7.4 虚宗量贝寨耳方程286

一、虚宗量贝塞耳函数287

二、虚宗量诺埃曼函数291

三、虚宗量汉克函数291

7.5 　球贝塞耳方程292

一、球贝塞耳函数和球诺埃曼函数293

二、本征值问题295

四、球贝塞耳函数的模296

三、球贝塞耳函数的正交关系296

五、广义傅里叶级数297

六、球汉克函数299

七、小x处的近似公式302

本章小结303

习题304

第八章 δ函数与格林函数306

8.1 δ函数306

一、δ函数的引入306

二、δ函数的性质307

三、δ函数的傅里叶级数310

一、非齐次振动方程的定解问题311

8.2 格林函数法311

二、非齐次输运方程的定解问题315

8.3 拉普拉斯方程边值问题的积分公式317

一、解的积分公式317

二、镜象法323

本章小结326

习题327

第九章 积分变换328

9.1 傅里叶变换328

一、实数形式的傅里叶积分329

二、复数形式的傅里叶积分334

三、广义傅里叶变换337

四、傅里叶变换的基本性质340

五、多重傅里叶积分345

9.2 傅里叶变换应用于定解问题346

9.3 拉普拉斯变换356

一、拉普拉斯变换360

二、拉昔拉斯变换的基本性质360

9.4 拉普拉斯变换的应用362

本章小结366

习题366

第十章 保角变换法简介369

10.1 保角变换法基本思想369

10.2 几种常用的保角变换370

一、线性变换370

二、幂函数和根式371

三、指数函数和对效函数373

四、分式线性变换374

五、儒阔夫斯基变换376

六、多角形变换378

习题379

附录380

一、勒让德方程的级数解(5-2-6)和(5-2-7)在x=±1发散380

二、函数P-ml(x)382

三、贝塞耳函数384

四、诺埃曼函数388

五、定积分公式∫-e-ω2a2eβ？dω=??eβ2/4a2389

六、高斯函数和误差函数390

七、拉普拉斯变换简表391

习题答案394