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引言1

第一部分 点集拓扑学10

第一讲 预备知识10

1.1集合代数与关系10

1.2函数与等价关系12

1.3序关系与选择公理14

1.4集合的可数性18

1.5基数简介20

习题122

第二讲 拓扑空间的基本概念25

2.1拓扑空间的定义25

2.2度量拓扑27

2.3拓扑空间的几个基本概念28

2.4子空间33

习题234

第三讲 拓扑空间之间的连续映射与同胚37

3.1连续映射的定义37

3.2连续映射的性质39

3.3同胚映射42

3.4嵌入与嵌入映射44

习题344

第四讲 拓扑基与Tychonoff积空间47

4.1拓扑基与子基47

4.2乘积空间51

习题457

第五讲 分离性公理与可数性公理61

5.1分离性公理61

5.2可数性公理69

5.3拓扑性质的可遗传性与可乘性72

习题573

第六讲Uryshon引理及其应用76

6.1 Uryshon引理76

6.2 Tietze扩张引理79

6.3 Uryshon度量化定理82

习题684

第七讲 拓扑空间的紧致性与列紧性87

7.1紧致与列紧的定义88

7.2列紧空间的性质89

7.3紧致空间的性质91

习题796

第八讲 局部紧性与仿紧性99

8.1局部紧性99

8.2仿紧性103

习题8110

第九讲 连通性与道路连通性112

9.1连通性的定义及例子112

9.2连通空间的性质113

9.3连通分支116

9.4局部连通性117

9.5道路及其运算118

9.6道路连通空间119

9.7道路连通分支121

9.8局部道路连通122

习题9125

第十讲 商空间与商映射127

10.1商空间127

10.2拓扑锥130

10.3贴空间130

10.4映射柱与映射锥132

10.5商映射133

10.6几个例子137

习题10138

第十一讲 闭曲面及其分类141

11.1拓扑流形的概念141

11.2闭曲面141

11.3两类闭曲面142

11.4闭曲面分类定理144

习题11149

第十二讲 点网、滤子与收敛性概念的扩张151

12.1点网151

12.2滤子157

习题12160

第十三讲 函数空间162

13.1点态收敛拓扑162

13.2Rx上的一致收敛拓扑163

13.3紧开拓扑166

13.4 k-空间与Ascoli定理169

习题13172

第二部分 代数拓扑学176

第十四讲 映射的同伦与基本群的定义176

14.1映射的同伦176

14.2道路类的逆与乘积181

14.3道路类的运算性质183

14.4空间的基本群定义185

14.5连续映射诱导的基本群同态185

14.6基本群与基点的关系186

习题14187

第十五讲 球面Sn的基本群190

15.1S1的基本群190

15.2 n≥2时Sn是单连通的194

15.3 T 2的基本群195

习题15196

第十六讲 基本群的同伦不变性198

16.1同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系198

16.2拓扑空间的同伦等价200

16.3形变收缩核201

16.4可缩空间208

习题16209

第十七讲 基本群的计算212

17.1 Seifert-Van Kampen定理212

17.2 Seifert-Van Kampen定理应用举例216

17.3轨道空间与基本群220

习题17222

第十八讲 基本群的若干应用224

18.1闭曲面分类定理证明的完成224

18.2 Brouwer不动点定理2维情形的证明226

18.3代数基本定理的证明227

18.4曲面的边界问题227

18.5扭结群的W irtinger表示228

18.6平面的分离问题233

习题18235

第十九讲 复叠空间及其基本性质236

19.1复叠映射与复叠空间236

19.2映射的提升问题240

19.3复叠空间的基本群244

19.4复叠空间的分类249

习题19250

第二十讲 复叠变换与正则复叠空间253

20.1复叠变换253

20.2正则复叠空间255

20.3泛复叠空间258

20.4四元数简介261

习题20262

第二十一讲 单纯复形的同调群263

21.1单纯形263

21.2单纯复（合）形265

21.3多面体与可剖分空间267

21.4承载单形269

21.5单形的定向270

21.6链群270

21.7边缘同态271

21.8同调群274

习题21277

第二十二讲 同调群的简单性质、G系数同调群280

22.1同调群的简单性质280

22.2 0-维同调群281

22.3 1-维同调群与基本群的关系282

22.4 Euler-Poincare公式284

22.5以交换群G为系数群的同调群285

习题22286

第二十三讲 同调群的基本计算288

习题23296

第二十四讲 单纯映射与单纯逼近298

24.1单纯映射298

24.2单纯映射诱导的同调群的同态300

24.3单纯逼近303

24.4重心重分306

24.5单纯逼近存在定理308

习题24310

第二十五讲 连续映射诱导的同调群同态313

25.1链复形、链映射和链同伦313

25.2同调群的重分不变性317

25.3诱导同调f*q的定义320

25.4多面体与可剖分空间的同调群321

习题25324

第二十六讲 同调群的同伦不变性326

26.1同调群的同伦不变性326

26.2同调群计算再举例327

习题26333

第二十七讲Mayer-Vietoris同调序列334

27.1简约同调群334

27.2相对同调群335

27.3同调代数的基本知识，正合同调序列337

27.4 Mayer-Vietoris同调序列342

习题27347

第二十八讲 球面自映射的映射度及其应用349

28.1球面自映射的映射度的定义和性质349

28.2对径映射的映射度及其应用352

28.3保径映射的映射度356

28.4 Borsuk-Ulam定理359

习题28361

第二十九讲Lefsehetz不动点定理363

29.1代数准备363

29.2有限复形K的迹数365

29.3可剖分空间的Lefsehetz数367

习题29370

第三部分 拓扑群基础372

第三十讲 拓扑群的基本概念与基本性质372

30.1拓扑群的概念372

30.2拓扑群的性质374

习题30380

第三十一讲 拓扑群的子群、商群与拓扑变换群382

31.1拓扑群的子群382

31.2拓扑群的商群385

31.3拓扑变换群390

习题31394

第三十二讲 拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限396

32.1拓扑群的积396

32.2拓扑群的分离性397

32.3拓扑群的连通性401

32.4逆极限404

习题32407

索引409

参考文献418