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第4章 多元函数微分学及其应用1

4.1多元函数的基本概念1

4.1.1区域1

4.1.2多元函数的定义2

4.1.3多元函数的极限3

4.1.4多元函数的连续性5

习题4.16

4.2偏导数7

4.2.1偏导数的概念及其计算7

4.2.2高阶偏导数9

习题4.211

4.3全微分11

4.3.1全微分的概念11

4.3.2可微的条件12

习题4.315

4.4多元复合函数的求导法16

4.4.1链式法则16

4.4.2全微分形式不变性19

习题4.420

4.5隐函数的求导法20

4.5.1由方程确定的隐函数的导数或偏导数存在定理21

4.5.2由方程组确定的多个隐函数的（偏）导数存在定理22

4.5.3一阶全微分形式不变性的应用25

习题4.526

4.6微分法在几何上的应用27

4.6.1空间曲线的切线与法平面27

4.6.2曲面的切平面与法线30

习题4.633

4.7方向导数与梯度33

习题4.739

4.8多元函数的极值39

4.8.1多元函数的极值及应用39

4.8.2条件极值 拉格朗日乘数法42

习题4.845

4.9应用举例46

综合习题48

数学家简介49

第5章 重积分51

5.1二重积分的概念与性质51

5.1.1引例51

5.1.2二重积分的概念52

5.1.3二重积分的性质53

5.1.4二重积分的对称性55

习题5.156

5.2二重积分的计算56

5.2.1利用直角坐标计算二重积分56

5.2.2利用极坐标计算二重积分62

5.2.3二重积分的换元法66

习题5.269

5.3二重积分的应用71

5.3.1曲面的面积71

5.3.2平面薄片的质心73

5.3.3平面薄片的转动惯量75

5.3.4平面薄片对质点的引力77

习题5.378

5.4三重积分79

5.4.1三重积分的概念与性质79

5.4.2利用直角坐标计算三重积分80

5.4.3利用柱面坐标计算三重积分83

5.4.4利用球面坐标计算三重积分86

5.4.5三重积分的换元法89

5.4.6三重积分的应用90

习题5.493

综合习题94

数学家简介95

第6章 曲线积分与曲面积分97

6.1对弧长的曲线积分97

6.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质97

6.1.2对弧长的曲线积分计算98

习题6.1102

6.2对坐标的曲线积分103

6.2.1对坐标的曲线积分的概念和性质103

6.2.2对坐标的曲线积分计算105

6.2.3两类曲线积分之间的联系108

习题6.2109

6.3格林公式110

6.3.1格林公式110

6.3.2平面曲线积分与路径无关 原函数114

习题6.3118

6.4对面积的曲面积分119

6.4.1对面积的曲面积分的概念与性质119

6.4.2对面积的曲面积分计算120

习题6.4124

6.5对坐标的曲面积分124

6.5.1对坐标的曲面积分的概念与性质124

6.5.2对坐标的曲面积分的计算方法126

6.5.3两类曲面积分之间的联系129

习题6.5130

6.6高斯公式131

6.6.1高斯公式131

6.6.2对坐标的曲面积分与曲面无关的充要条件135

习题6.6135

6.7斯托克斯公式136

6.7.1斯托克斯公式136

6.7.2空间曲线积分与路径无关的条件138

习题6.7139

6.8场论简介139

6.8.1场139

6.8.2通量与散度142

6.8.3环量与旋度144

6.8.4有势场148

习题6.8150

6.9应用举例150

综合习题155

数学家简介156

第7章 无穷级数158

7.1常数项级数的概念和性质158

7.1.1常数项级数的概念158

7.1.2无穷级数的基本性质160

习题7.1162

7.2常数项级数的审敛法162

7.2.1正项级数及其审敛法162

7.2.2任意项级数的审敛法168

习题7.2171

7.3幂级数172

7.3.1幂级数及其收敛性172

7.3.2幂级数的运算176

习题7.3178

7.4函数展开成幂级数178

7.4.1泰勒级数178

7.4.2函数展开成幂级数179

7.4.3幂级数的应用183

习题7.4185

7.5傅里叶级数185

7.5.1三角函数系的正交性186

7.5.2函数展开成傅里叶级数186

习题7.5191

7.6应用举例192

综合习题194

数学家简介196

第8章 常微分方程198

8.1微分方程的建立及基本概念198

8.1.1微分方程的建立198

8.1.2微分方程的基本概念200

习题8.1201

8.2一阶微分方程201

8.2.1变量可分离方程201

8.2.2可化为变量可分离的方程202

8.2.3一阶线性微分方程204

8.2.4伯努利方程206

8.2.5全微分方程（恰当方程）与积分因子207

习题8.2211

8.3可降阶的高阶微分方程212

8.3.1y''=f（x）型微分方程212

8.3.2y''=f（x，y'）型微分方程212

8.3.3y''=f（y，y'）型微分方程213

习题8.3214

8.4高阶线性微分方程214

8.4.1高阶线性微分方程解的性质与通解结构214

8.4.2二阶常系数齐次线性微分方程216

8.4.3二阶常系数非齐次线性微分方程219

8.4.4常数变易法223

8.4.5欧拉方程224

8.4.6一阶常系数线性微分方程组225

习题8.4226

8.5应用举例226

习题8.5233

综合习题234

数学家简介235

部分习题答案237