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第一部分 高等数学1

第一章 函数1

第一节 函数的有关概念和几种特性1

第二节 分段函数与积分上限的函数5

第二章 极限 连续 求极限的方法9

第一节 极限的概念与性质9

一、定义9

二、基本性质10

三、与极限的不等式性质有关的若干问题11

第二节 极限的存在与不存在问题11

一、数列xn敛散性的判别11

二、函数y＝f（x）的极限的存在与不存在问题12

三、证明多元函数z = f （x, y）极限不存在的问题13

第三节 无穷小量和它的阶14

一、无穷小量 极限 无穷大量14

二、无穷小量的阶15

三、无穷小量阶的运算性质15

四、等价无穷小量的重要性质16

五、确定无穷小量阶的方法16

第四节 求极限的方法18

一、极限的四则运算与幂指数运算法则18

二、用洛必达法则求未定式的极限20

三、利用函数的连续性求极限22

四、利用变量替换法与两个重要极限求极限23

五、利用适当放大缩小法求极限24

六、利用函数极限求数列极限26

七、递归数列的极限27

八、利用定积分求某些和式的极限30

九、利用泰勒公式求未定式的极限31

十、用数值级数求和法求某些数列的极限33

十一、分别求左、右极限33

十二、求二元函数的极限33

第五节 函数的连续性及其判断34

一、连续性概念34

二、间断点的定义与分类34

三、连续性运算法则34

四、怎样判断函数的连续性34

五、二元函数的连续性36

第三章 导数 微分法37

第一节 导数的概念37

一、导数的定义及函数的连续性37

二、用导数求某些函数的极限38

第二节 微分法则39

一、内容提要39

二、分段函数的情形42

三、变限积分的情形46

第三节 隐函数以及参数方程表示的函数的微分法48

一、隐函数的微分法48

二、由参数方程表达的函数微分法49

第四节 某些简单函数的n阶导数52

一、应用分解法或归纳法求n阶导数（公式）52

二、莱布尼茨公式53

三、利用幂级数展式求导54

第五节 导数的几何意义和物理意义 平面曲线的切线与法线54

一、导数的几何意义 平面曲线的切线与法线54

二、平面上两相交曲线之间的夹角56

三、导数的物理意义57

第六节 微分的概念及一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的作用58

一、微分概念及一阶微分形式的不变性58

二、用微分作近似计算60

第七节 多元函数的偏导数与全微分概念60

一、内容提要60

二、用定义求偏导数62

第八节 复合函数偏导数的求法63

第九节 多元隐函数的微分法67

第十节 求全微分及全微分在近似计算中的应用70

一、多元函数全微分计算70

二、近似计算73

第十一节 方向导数 梯度74

一、方向导数74

二、梯度76

第十二节 多元函数极值77

第四章 闭区间上连续函数的性质微分学的中值定理及其应用86

第一节 闭区间上连续函数的性质及其应用86

第二节 微分学中值定理的内容提要87

第三节 用微分学中值定理进行函数性态研究的内容提要88

一、函数的单调性88

二、函数的极值88

三、函数的最大值、最小值88

四、函数图形的凹凸性和拐点89

五、曲线的渐近线90

六、函数图形的描绘90

七、二元函数的二阶泰勒公式90

第四节 微分学中值定理的应用题型91

一、函数单调性的讨论91

二、曲线凹凸性的讨论92

三、不等式的证明93

四、讨论极值和最值问题97

五、中值命题的证明99

六、方程根的讨论104

七、证明函数恒等常数106

八、描绘函数图形并利用图形作辅助工具解决有关问题107

第五章 一元积分学109

第一节 不定积分的内容提要109

一、原函数与不定积分的概念109

二、不定积分的基本性质109

三、求不定积分的基本公式110

四、求不定积分的基本方法110

第二节 定积分的内容提要119

一、定积分的概念和性质 定积分中值定理120

二、微积分基本定理 牛顿-莱布尼茨公式121

三、定积分的换元法122

四、定积分的分部积分法122

五、定积分的近似计算法122

第三节 广义积分内容提要123

一、无穷区间上的广义积分（无穷积分）123

二、无界函数的广义积分（瑕积分）124

第四节 定积分的计算124

一、计算定积分的基本方法124

二、分段函数（包括带绝对值符号的函数）的定积分计算128

三、含参数的定积分计算129

第五节 广义积分的计算130

第六节 定积分证明题132

一、定积分等式的证明132

二、定积分不等式的证明135

三、定积分中值命题的证明139

四、从定积分的信息提取被积函数的信息140

第七节 变限定积分与原函数141

一、周期函数与奇、偶函数的变限定积分141

二、原函数的微分形式d∫f（x）dx=f（x）dx的应用143

三、变限定积分的求导法则及其应用143

四、利用度限定积分证明积分等式与不等式145

第六章　向量代数与空间解析几何145

第一节 向量代数的内容提要145

一、向量概念146

二、向量的线性运算146

三、向量的数量积、向量积和混合积146

四、向量运算的坐标表示147

五、向量代数的基本题型147

第二节 空间解析几何的内容提要148

一、直线、平面和曲面148

二、母线平行于坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面上的投影149

三、关于平面束的定义及定理150

第三节 空间解析几何的基本题型150

一、求直线与直线、直线与平面、平面与平面间的夹角或讨论平行、垂直和相交关系150

二、建立直线、平面、旋转曲面的方程151

三、求点到直线、点到平面及异面直线的距离157

四、与多元函数微分学联系的综合题159

第七章 多元函数积分的概念与计算160

第一节多元函数积分的概念161

一、多元积分的定义、几何意义或物理意义161

二、两类曲线积分之间的关系两类曲面积分之间的关系165

第二节…多元函数积分的存在性与性质166

一、多元函数积分的存在性166

二、多元函数积分的性质166

第三节 多元函数积分的计算171

一、在直角坐标系中怎样把多元函数积分化为定积分171

二、重积分的变量替换179

三、怎样应用多元函数积分计算公式及怎样简化多元函数积分的计算186

第八章 多元函数积分学中的基本公式及其应用195

第一节 多元函数积分学中的基本公式195

一、向量场的通量与散度及高斯公式195

二、向量场的环量与旋度及斯托克斯公式197

三、格林公式198

四、向量场的散度与旋度的计算199

第二节 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式的一个应用—简化多元函数积分的计算201

一、应用格林公式计算曲线积分201

二、应用高斯公式计算曲面积分203

三、应用斯托克斯公式计算曲线积分206

第三节 平面上曲线积分与路径无关问题207

一、？与路径无关时的特征207

二、怎样判断曲线积分？是否与路径无关209

三、积分与路径无关时如何求？及求原函数的方法210

第九章 微积分的应用212

第一节 微分学的某些应用213

一、弧微分、曲率和曲率半径213

二、求方程近似解的切线法与二分法215

三、空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线217

第二节 积分的应用222

一、微元法222

二、定积分的几何应用223

三、定积分的物理应用232

四、重积分、曲线积分和曲面积分的某些应用235

第三节 最大值与最小值应用问题243

第十章 无穷级数249

第一节 常数项级数？的一般事项251

一、？收敛、和、发散的概念及基本性质251

二、用差消法、夹逼法求某些级数的和252

三、用必要条件判别级数的发散性253

四、用基本性质判别级数的收敛性253

第二节 正项级数的审敛法254

一、估计部分和有界法254

二、不同通项比较法255

三、比值审敛法256

四、根值判别法257

第三节交错级数257

第四节级数的绝对收敛与条件收敛259

第五节 函数项级数 幂级数261

一、基本概念261

二、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛区域261

三、幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法266

第六节 泰勒级数270

一、内容提要270

二、初等函数的幂级数展开式271

三、幂级数在近似计算中的应用273

第七节 傅里叶级数275

一、内容提要275

二、求函数的傅里叶系数与傅里叶级数展式278

三、计算傅里叶级数在特定点上的值280

第十一章 常微分方程282

第一节 基本概念282

第二节 一阶微分方程284

一、变量可分离的方程与齐次方程284

二、一阶线性方程289

三、伯努利方程293

四、全微分方程293

五、可用简单的变量代换求解的某些微分方程295

第三节 可降阶的高阶微分方程297

一、？型的微分方程297

二、？型的微分方程298

三、？型的微分方程300

第四节 高阶线性微分方程301

一、线性方程解的性质和通解的结构301

二、二阶常系数齐次线性微分方程304

三、二阶常系数非齐次线性微分方程307

四、包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组313

五、欧拉方程315

六、微分方程幂级数解法简介316

第五节 微分方程（或方程组）的简单应用问题318

第二部分 线性代数325

第一章 行列式325

第一节 行列式的概念325

第二节 行列式的性质327

第三节 行列式按行（或列）的展开公式330

第四节 分块行列式 范德蒙德行列式332

一、分块行列式332

二、范德蒙德行列式334

第五节行列式的计算334

第二章 矩阵336

第一节 矩阵的概念及运算336

一、矩阵的概念336

二、矩阵的运算336

三、几类特殊的矩阵341

第二节 逆矩阵与伴随矩阵343

一、可逆矩阵的概念与性质343

二、伴随矩阵345

第三节 初等变换与初等矩阵348

一、概念与性质348

二、利用初等行变换求逆矩阵350

三、利用初等行变换解矩阵方程352

第四节 矩阵的分块运算356

第三章 向量357

第一节向量组的线性关系357

一、向量的基本概念357

二、向量的线性运算358

三、线性组合与线性表示359

四、向量组的线性相关与线性无关361

第二节 向量组的极大无关组与秩 矩阵的秩367

一、向量组的极大无关组与秩367

二、矩阵的秩369

三、秩的计算372

第三节 向量的内积运算375

一、内积的定义及性质375

二、正交矩阵376

三、施密特正交化377

第四节 向量空间379

一、n维向量空间及其子空间379

二、基、维数与坐标380

三、基变换、过渡矩阵和坐标变换380

第四章 线性方程组381

第一节 概念与基本性质381

一、基本概念381

二、线性方程组解的性质382

三、线性方程组解的情况的判别382

四、克拉默法则383

第二节 齐次线性方程组Ax = O384

一、基础解系和通解384

二、基础解系的求法385

第三节 非齐次线性方程组Ax = β389

一、通解的结构389

二、通解的求法390

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 n阶矩阵的相似关系和对角化394

第一节 特征向量与特征值394

一、定义与性质394

二、特征多项式397

三、特征值与特征向量的计算399

第二节 n阶矩阵的相似关系与对角化402

一、n阶矩阵的相似关系402

二、n阶矩阵的对角化问题403

第三节 实对称矩阵的对角化408

第六章 二次型412

第一节 二次型及其矩阵412

一、二次型的定义412

二、可逆线性变换替换413

三、n阶矩阵的合同关系414

第二节 二次型的标准化和规范化 惯性指数414

一、惯性指数414

二、标准化和规范化的方法414

三、惯性指数与特征值的关系419

第三节 正定二次型与正定矩阵420

一、定义与基本性质420

二、正定性的判别420

第三部分 概率论与数理统计初步424

第一章 概率论424

第一节 事件和概率424

一、最基本的概念424

二、事件的关系和运算424

三、概率的重要概念425

四、计算概率的主要公式425

五、解题指南426

六、综合题427

第二节 随机变量431

一、随机变量及其分类431

二、离散型随机变量431

三、连续型随机变量433

四、综合题435

第三节 随机向量438

一、随机向量的基本概念438

二、离散型随机向量439

三、连续型随机向量440

四、综合题443

第四节 概率补遗449

一、正态随机向量的几个定理449

二、X2分布、t分布和F分布450

三、切比雪夫不等式和弱大数定律451

四、中心极限定理452

第二章 数理统计453

第一节 数理统计的基本概念453

一、总体与样本453

二、统计量453

三、正态总体某些统计量的分布454

第二节 参数估计454

一、点估计454

二、区间估计457

第三节 假设检验459

一、假设检验的基本点459

二、单个正态总体？的假设检验459

三、两个独立正态总体？的假设检验461

四、总体分布假设的X2检验461

第四节 分布函数的分位数462

第三章 综合练习462