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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数的基本概念1

1.1.1 函数的定义1

1.1.2 反函数与复合函数3

1.1.3 函数的基本性质4

1.1.4 初等函数5

习题1.15

1.2 数列的极限7

1.2.1 数列极限问题举例7

1.2.2 数列的概念8

1.2.3 数列极限的定义8

1.2.4 数列极限的性质10

习题1.212

1.3 函数的极限13

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限13

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限14

1.3.3 函数极限的性质16

习题1.317

1.4 无穷小量与无穷大量18

1.4.1 无穷小量18

1.4.2 无穷大量19

习题1.420

1.5 极限的运算法则20

习题1.525

1.6 两个重要极限26

习题1.629

1.7 无穷小量的比较30

习题1.731

1.8 函数的连续性与间断点32

1.8.1 函数的连续性32

1.8.2 函数的间断点33

习题1.835

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性35

1.9.1 连续函数的运算35

1.9.2 初等函数的连续性36

1.9.3 利用函数的连续性求极限36

1.9.4 闭区间上连续函数的性质37

习题1.938

总习题139

第2章 导数与微分41

2.1 导数的概念41

2.1.1 导数概念的引出41

2.1.2 导数的定义43

2.1.3 导数的几何意义47

2.1.4 函数的可导性与连续性之间的关系48

习题2.149

2.2 函数的求导法则50

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则50

2.2.2 反函数的求导法则52

2.2.3 复合函数求导法则54

习题2.257

2.3 高阶导数57

习题2.359

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数60

2.4.1 隐函数的导数60

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数63

习题2.464

2.5 微分65

2.5.1 微分的概念65

2.5.2 微分的几何意义67

2.5.3 微分的基本公式和微分运算法则67

2.5.4 利用微分进行近似计算71

习题2.572

总习题272

第3章 微分中值定理与导数的应用74

3.1 微分中值定理74

3.1.1 费马引理74

3.1.2 罗尔定理75

3.1.3 拉格朗日中值定理76

3.1.4 柯西中值定理79

习题3.180

3.2 洛必达法则81

3.2.1 基本未定式0/081

3.2.2 基本未定式∞/∞83

3.2.3 其他型未定式84

习题3.285

3.3 泰勒公式86

习题3.389

3.4 函数单调性的判别法89

习题3.491

3.5 函数的极值与最大值、最小值91

3.5.1 函数的极值91

3.5.2 函数的最大值和最小值93

3.5.3 应用举例93

习题3.594

3.6 函数作图法95

3.6.1 曲线的凸凹性与拐点95

3.6.2 曲线的渐近线96

3.6.3 函数图形的描绘97

习题3.698

总习题399

第4章 不定积分100

4.1 不定积分的概念与性质100

4.1.1 原函数与不定积分的概念100

4.1.2 不定积分的性质102

习题4.1102

4.2 不定积分的第一类换元积分法103

习题4.2106

4.3 不定积分的第二类换元积分法107

习题4.3109

4.4 不定积分的分部积分法109

习题4.4112

4.5 有理函数的不定积分112

习题4.5114

总习题4114

第5章 定积分及其应用116

5.1 定积分的概念与性质116

5.1.1 定积分实际问题举例116

5.1.2 定积分的定义118

5.1.3 定积分的几何意义119

5.1.4 定积分的性质121

习题5.1125

5.2 微积分基本定理125

5.2.1 可变上限的定积分126

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式129

习题5.2131

5.3 定积分的积分法132

5.3.1 定积分的换元积分法133

5.3.2 定积分的分部积分法137

习题5.3139

5.4 广义积分140

5.4.1 积分区间为无穷区间的广义积分140

5.4.2 被积函数具有无穷间断点的广义积分143

习题5.4146

5.5 定积分的应用147

5.5.1 微元法147

5.5.2 直角坐标系下平面图形的面积149

5.5.3 极坐标系下平面图形的面积152

5.5.4 已知平行截面面积的立体的体积155

5.5.5 旋转体的体积156

习题5.5160

总习题5161

第6章 微分方程164

6.1 微分方程的基本概念164

6.1.1 引例164

6.1.2 基本概念165

习题6.1166

6.2 一阶微分方程166

6.2.1 可分离变量的微分方程与分离变量法166

6.2.2 齐次微分方程168

6.2.3 一阶线性微分方程172

习题6.2175

6.3 二阶微分方程176

6.3.1 可降阶的微分方程176

6.3.2 二阶常系数线性微分方程178

习题6.3180

总习题6181

第7章 空间解析几何简介185

7.1 向量及其运算185

7.1.1 向量的概念及其线性运算185

7.1.2 空间直角坐标系186

7.1.3 空间两点间的距离、方向角与方向余弦187

7.1.4 向量的数量积188

7.1.5 向量的向量积188

7.1.6 向量的混合积189

习题7.1190

7.2 曲面及其方程190

7.2.1 曲面方程的概念190

7.2.2 柱面191

7.2.3 旋转曲面191

7.2.4 二次曲面192

习题7.2193

7.3 曲线及其方程194

7.3.1 空间曲线的一般方程194

7.3.2 空间曲线在坐标平面上的投影194

习题7.3195

7.4 平面及其方程195

7.4.1 平面的点法式方程195

7.4.2 平面的一般方程196

7.4.3 两平面的夹角196

习题7.4197

7.5 空间直线及其方程198

7.5.1 空间直线的一般方程、对称式方程与参数方程198

7.5.2 两条直线的夹角199

7.5.3 直线与平面的夹角199

习题7.5200

总习题7200

第8章 多元函数微分学及其应用202

8.1 多元函数的极限与连续202

8.1.1 平面点集与n维空间202

8.1.2 多元函数的概念204

8.1.3 多元函数的极限205

8.1.4 多元函数的连续206

习题8.1206

8.2 偏导数与全微分207

8.2.1 偏导数207

8.2.2 全微分211

8.2.3 全微分在近似计算中的应用214

习题8.2214

8.3 多元复合函数微分法与隐函数微分法216

8.3.1 多元复合函数微分法216

8.3.2 隐函数的求导法220

习题8.3224

8.4 多元函数的极值及其应用225

8.4.1 二元函数的极值及其求法225

8.4.2 二元函数的最值227

8.4.3 条件极值与拉格朗日乘数法228

习题8.4231

总习题8231

第9章 二重积分233

9.1 二重积分的概念与性质233

9.1.1 二重积分的概念233

9.1.2 二重积分的性质236

习题9.1237

9.2 二重积分的计算238

9.2.1 在直角坐标系下计算二重积分238

9.2.2 在极坐标系下计算二重积分243

习题9.2247

总习题9248

第10章 曲线积分251

10.1 对弧长的曲线积分251

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质251

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算方法253

习题10.1255

10.2 对坐标的曲线积分256

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念256

10.2.2 对坐标的曲线积分的性质258

10.2.3 对坐标的曲线积分的计算方法258

10.2.4 两类曲线积分的联系261

习题10.2262

10.3 格林公式及其应用263

10.3.1 格林公式263

10.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件265

10.3.3 二元函数的全微分求积267

习题10.3268

总习题10269

习题参考答案271

参考文献289