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第一章 方程的导出及定解问题的提法1

1基本概念1

1.1什么是偏微分方程1

1.2.偏微分方程的解3

1.3.偏微分方程的阶3

1.4.线性偏微分方程3

1.5.非线性偏微分方程4

习题1-14

2几个经典方程6

2.1弦振动方程6

2.2.热传导方程10

2.3.Laplace方程12

习题1-212

3 定解问题13

3.1.定解问题13

3.2.三类典型的边界条件14

3.3.适定性15

习题1-316

第二章 二阶方程的特征理论与分类17

1二阶方程的特征17

1.1.两个自变量的情形17

1.2.多个自变量的情形19

习题2-124

2二阶方程的分类24

2.1.两个自变量的情形24

2.2.多个自变量的情形31

习题2-234

第三章 分离变量法36

1分离变量法的理论基础36

习题3-140

2求解实例40

2.1.双曲型方程的混合问题与分离变量法40

2.2.抛物型方程的混合问题与分离变量法52

2.3.椭圆型方程的边值问题与分离变量法58

习题3-262

第四章 双曲型方程66

1 Duhamel原理66

1.1.Cauchy问题66

1.2.混合问题69

习题4-171

2一维波动方程72

2.1.齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法72

2.2.d’Alembert公式的物理意义77

2.3.d’Alembert公式的几何解释78

2.4.依赖区域、决定区域和影响区域78

2.5.半直线上齐次波动方程的混合问题80

2.6.非齐次波动方程的Cauchy问题83

2.7.非齐次波动方程的混合问题84

习题4-286

3高维波动方程89

3.1.三维齐次波动方程的Cauchy问题89

3.2.二维波动方程与降维法93

3.3.依赖区域、决定区域和影响区域95

3.4.波的传播速度97

3.5.Poisson公式的物理意义97

3.6.非齐次波动方程的Cauchy问题100

习题4-3101

4 能量积分、唯一性和稳定性103

4.1.能量积分103

4.2.混合问题解的唯一性105

4.3.能量不等式106

4.4.Cauchy问题解的唯一性和稳定性110

习题4-4114

第五章 抛物型方程116

1 热传导方程定解问题的求解116

1.1.齐次方程的Cauchy问题116

1.2.非齐次方程的Cauchy问题121

1.3.半直线上的热传导方程的混合问题123

习题5-1125

2 极值原理、最大模估计、唯一性和稳定性126

2.1.弱极值原理127

2.2.第一边值问题解的最大模估计、唯一性与稳定性131

2.3.第二、三边值问题解的最大模估计133

2.4.Cauchy问题解的最大模估计137

2.5.边值问题的能量估计139

习题5-2141

第六章 椭圆型方程144

1调和函数144

1.1.Green公式144

1.2.调和函数与基本解145

1.3.调和函数的基本性质149

习题6-1152

2Green函数153

2.1.Green函数的定义153

2.2.Green函数的几个重要性质155

习题6-2159

3 球与半空间上的Dirichlet问题160

3.1.球上的Dirichlet问题160

3.2.半空间上的Dirichlet问题165

3.3.Harnack不等式及其应用166

习题6-3168

4 极值原理、唯一性与稳定性169

4.1.极值原理169

4.2.第一边值问题解的唯一性和稳定性173

4.3.第二边值问题解的唯一性175

习题6-4178

第七章 Fourier变换及其应用180

1 Fourier变换及其性质180

1.1.Fourier变换180

1.2.基本性质182

1.3.几个例子185

1.4.高维空间的Fourier变换187

习题7-1188

2应用189

习题7-2193

附录Ⅰ散度定理195

附录Ⅱ线性变换下的微分运算197

附录Ⅲ Gronwall不等式199

附录Ⅳ Riemann-Lebesgue引理201

主要参考文献203