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第一讲 求极限的方法1

1.1 利用定义求极限1

1.2 用哥西(Cauchy)准则来判断有否极限11

1.3 利用极限运算及已知的极限来求极限15

1.4 利用不等式求极限19

1.5 利用变量替换法求极限23

1.6 利用两个重要极限来求极限26

1.7 利用单调上升有上界的变量必有极限来求极限29

1.8 利用函数连续的性质求极限32

1.9 用洛必达(L′Hospitale)法则求极限38

1.10 利用泰勒(Taylor)公式求极限42

第二讲 几个重要的基本概念的正反叙述及其应用46

2.1 序列的极限46

2.2 函数的极限52

2.3 函数在区间上的一致连续56

2.4 函数项级数与函数序列的一致收敛性61

3.1 引言--若干数列极限的例子68

第三讲 一类数列极限的收敛性问题68

3.2 主题--一类有趣的数列极限问题71

3.3 理论问题77

3.4 概述79

第四讲 泰勒(Taylor)公式及其应用81

4.1 函数的局部逼近--泰勒公式的皮亚诺(Peano)余项及其应用81

4.2 函数的整体逼近--泰勒公式的拉格朗日(Lagrange)余项及哥西余项及其应用95

4.3 拉格朗日与埃尔米特(Hermite)插值公式及其应用117

4.4 多元函数的泰勒公式及其应用130

第五讲 一类条件极值问题的处理141

5.1 不等式与规划141

5.2 一般条件极值问题149

第六讲 一致收敛序列与广义积分157

6.1 函数序列或级数中的基本问题157

6.2 一致收敛的函数序列与级数的性质162

6.3 含参变量的广义积分中的基本问题172

6.4 二元函数一致收敛的概念178

6.5 一致收敛的含参变量的广义积分的性质183

6.6 参变量广义积分的应用189

第七讲 关于菲波那契(Fibonacci)序列及其应用204

7.1 优选法及其数学理论依据204

7.2 关于菲波那契序列212

第八讲 关于积分第一中值定理及其应用216

8.1 关于积分第一中值定理的理论216

10.5 附录：关于代数数的概念217

8.2 关于积分第一中值定理的运用220

第九讲 凸函数及其应用229

9.1 凸函数的定义及基本性质229

9.2 凸函数的应用246

9.3 三角凸函数255

第十讲 e与π的无理性和超越性263

10.1 e和π的无理性263

10.2 e的超越性264

10.3 π的超越性267

10.4 概述270

11.1 引言277

第十一讲 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)逼近定理及其应用277

11.2 魏尔斯特拉斯第一定理的勒贝格(Lebesgue)证明281

11.3 魏尔斯特拉斯第二定理的费耶尔(Fejer)证明286

11.4 魏尔斯特拉斯定理的推广--四通(Stone)定理295

11.5 梅尔干良(Mepгeлян)逼近定理及其应用305

第十二讲 微积分学在天体力学上的应用308

12.1 引言308

12.2 一些准备知识310

12.3 由开普勒三大定律推导万有引力定律313

12.4 从万有引力定律来推导开普勒三大定律316

12.5 计算三个宇宙速度322

第十三讲 关于哥德巴赫猜想330

13.1 概述330

13.2 分析方法的作用332

13.3 关于弱型哥德巴赫问题的研究342

13.4 关于因子哥德巴赫问题的研究343

13.5 正确认识“猜想”的研究345

第十四讲 黎曼(Riemann)积分与勒贝格积分的本质差别347