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第一章 绪论1

1．1误差1

误差的来源1

误差分析的基本概念2

数值算法与算法的数值稳定性4

1．2误差分析的方法与原则7

1．3算法的软件实现与计算机的数系结构10

习题一12

数值实验一13

第二章 非线性方程的数值解法17

2．1二分法17

2．2迭代法19

不动点迭代法19

不动点迭代法的一般理论22

局部收敛性与收敛阶24

2．3迭代收敛的加速方法27

使用两个迭代值的组合方法27

斯蒂芬森迭代法29

2．4牛顿迭代法31

2．5弦割法与抛物线法35

弦割法35

抛物线法37

习题二40

数值实验二41

第三章 线性方程组的直接解法45

3．1三角形方程组和三角分解45

三角形方程组的解法45

高斯变换47

三角分解的计算48

其他的三角分解51

3．2选主元三角分解52

3．3平方根法57

3．4分块三角分解61

3．5向量范数和矩阵范数63

向量范数63

矩阵范数64

3．6线性方程组的敏度分析与病态方程组的解法70

线性方程组的敏度分析70

病态方程组的解法73

习题三74

数值实验三76

第四章 多项式插值与函数逼近80

4．1插值问题80

4．2代数插值多项式的构造方法82

拉格朗日插值法82

牛顿插值法85

4．3埃尔米特插值问题90

埃尔米特插值多项式的构造90

埃尔米特插值多项式的存在唯一性以及误差估计91

带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例92

4．4分段插值93

高次插值的评述93

分段插值95

4．5三次样条插值函数99

三次样条插值函数的力学背景99

三次样条插值函数99

三次样条插值函数的性质103

4．6函数逼近105

函数逼近问题105

最佳平方逼近107

正交多项式109

最佳一致逼近114

最佳一致逼近多项式求法的讨论119

离散的最佳逼近问题121

习题四122

数值实验四124

第五章 数值积分与数值微分128

5．1数值求积的基本问题128

引言128

求积公式的代数精度129

求积公式的收敛性与稳定性130

5．2牛顿-柯特斯公式131

插值型求积公式131

牛顿-柯特斯公式132

几种低阶求积公式的余项134

5．3复化求积公式135

复化梯形公式135

复化辛普森公式136

自动选取积分步长139

5．4龙贝格求积公式140

5．5高斯求积公式142

高斯求积问题的提出142

高斯求积公式144

5．6积分方程的数值解149

5．7数值微分150

插值型的求导公式150

用三次样条插值函数求数值导数152

习题五153

数值实验五155

第六章 线性与非线性方程组的迭代解法158

6．1 J acobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法158

Jacobi迭代法158

Gauss-Seidel迭代法159

6．2 Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性分析159

收敛的充分必要条件与误差估计159

收敛速度168

6．3超松弛迭代法169

超松弛迭代法169

SOR迭代法的收敛性171

最佳松弛因子与迭代法的比较173

块超松弛迭代法174

6．4共轭梯度法175

最速下降法175

共轭梯度法及其基本性质178

实用共轭梯度法及其收敛性183

预处理方法与Krylov子空间方法简介185

6．5非线性方程组的迭代解法188

非线性Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代189

Newton迭代法及其改进算法190

大范围算法简介192

习题六193

数值实验六195

第七章 曲线拟合与线性最小二乘问题199

7．1线性最小二乘问题199

问题的引入199

最小二乘多项式拟合200

解的存在性、唯一性201

7．2广义逆矩阵与最小二乘解205

定义与表示205

基本性质208

7．3正交化方法209

Gram-Schmidt正交化方法209

正交分解和线性方程组的最小二乘解213

Householder变换与Givens变换217

7．4奇异值分解223

习题七225

数值实验七226

第八章 特征值问题的计算方法231

8．1基本概念与性质231

8．2幂法与反幂法233

8．3 Jacobi方法238

经典Jacobi方法238

循环Jacobi方法及其变形241

8．4 QR方法242

基本迭代与收敛性243

实Schur标准形244

上H essenberg化245

三对角化248

隐式对称QR迭代249

隐式对称QR算法250

8．5二分法251

习题八256

数值实验八258

第九章 常微分方程数值解法262

9．1引言262

9．2 Euler方法263

Euler方法及其稳定性263

局部误差和方法的阶266

Euler方法的误差分析267

9．3 Runge-Kutta方法269

Runge-Kutta方法的基本思想269

显式Runge-Kutta方法及其稳定性270

隐式Runge-Kutta方法277

9．4线性多步法与预估-校正格式279

9．5理论分析282

单步法的收敛性282

稳定性283

收敛性284

9．6方程组与高阶方程的数值方法285

9．7刚性方程组286

9．8边值问题289

问题提出289

打靶法290

习题九292

数值实验九293

参考文献296

名词索引298