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第1章 复变函数与解析函数1

1.1 复数2

1.1.1 复数的概念2

1.1.2 复数的表示法2

1.1.3 复数的运算4

1.1.4 复球面7

1.2 复变函数8

1.2.1 区域8

1.2.2 复变函数的概念10

1.2.3 复变函数的极限及连续性11

1.3 解析函数13

1.3.1 导数与微分13

1.3.2 解析函数15

1.3.3 初等函数18

1.4 保角映射22

1.4.1 保角映射的概念22

1.4.2 几种简单的保角映射24

数学家简介——欧拉27

习题一29

第2章 复变函数的积分31

2.1 复变函数的积分32

2.1.1 复积分的概念32

2.1.2 复积分的性质33

2.1.3 复积分的计算33

2.2 柯西积分定理37

2.2.1 柯西基本定理37

2.2.2 复合闭路定理40

2.3 柯西积分公式42

2.3.1 柯西积分公式42

2.3.2 解析函数的高阶导数45

2.3.3 解析函数与调和函数48

数学家简介——柯西51

习题二52

第3章 级数与留数54

3.1 幂级数及其展开54

3.1.1 幂级数54

3.1.2 泰勒级数60

3.2 洛朗级数及其展开式62

3.2.1 双边幂级数62

3.2.2 洛朗级数63

3.3 留数65

3.3.1 孤立奇点65

3.3.2 留数的概念及留数定理68

3.3.3 留数的计算69

3.4 留数的应用71

3.4.1 计∫2π0f（cosθ，sinθ）dθ型积分71

3.4.2 计算∫+∞-∞P（x）/Q（x）dx型积分72

3.4.3 计算∫+∞-∞f（x）eiλrdx型积分73

数学家简介——泰勒76

习题三77

第4章 傅里叶变换79

4.1 傅里叶变换79

4.1.1 傅里叶级数的复指数形式79

4.1.2 傅里叶变换81

4.2 傅里叶变换的性质87

4.2.1 傅里叶变换的性质87

4.2.2 卷积88

4.3 离散傅里叶变换及其性质91

4.3.1 离散傅里叶变换的定义91

4.3.2 离散傅里叶变换的基本性质92

4.4 傅里叶变换的应用94

4.4.1 解积分、微分方程问题94

4.4.2 求解偏微分方程问题95

4.4.3 电路系统求解问题96

数学家简介——傅里叶97

习题四98

第5章 拉普拉斯变换与z变换100

5.1 拉普拉斯变换的概念101

5.1.1 问题的提出101

5.1.2 拉普拉斯变换的定义101

5.1.3 拉普拉斯变换的存在定理102

5.2 拉普拉斯变换的性质103

5.2.1 基本性质103

5.2.2 卷积106

5.2.3 极限性质108

5.3 拉普拉斯逆变换109

5.4 拉普拉斯变换的应用110

5.5 z变换113

5.5.1 z变换的定义114

5.5.2 z变换的逆变换115

5.5.3 z变换的性质和应用117

5.5.4 z变换与拉普拉斯变换的关系117

5.6 小波变换简介118

5.6.1 傅里叶变换的局限119

5.6.2 窗口傅里叶变换119

5.6.3 小波变换120

5.6.4 小波变换的性质122

数学家简介——拉普拉斯124

习题五125

附录 习题答案128