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第1章 预备知识1

1.1 记号和术语1

1.2 一些常用的不等式3

1.2.1 Cauchy不等式3

1.2.2 带ε的Cauchy不等式3

1.2.3 Young不等式3

1.2.4 带ε的Young不等式3

1.2.5 Cp不等式3

1.2.6 Cauchy-Schwarz不等式3

1.2.7 离散型的H？lder不等式4

1.2.8 离散型的Minkowski不等式4

1.2.9 Gronwall不等式（微分形式）4

1.2.10 Gronwall不等式（积分形式）4

1.2.11 Jensen不等式5

1.3 基本函数空间的定义5

1.4 H？lder不等式，Minkowski不等式和Lp（Ω）范数的内插不等式9

1.4.1 带权的H？lder不等式10

1.4.2 广义带权的H？l1der不等式10

1.4.3 带权的Minkowski不等式10

1.4.4 广义带权的Minkowski不等式10

1.4.5 带权的H？lder逆不等式11

1.4.6 带权的Minkowski逆不等式11

1.4.7 Lp（Ω）空间范数的内插不等式11

1.4.8 Minkowski积分不等式11

1.5 整数阶Sobolev空间Wm，p（Ω）12

1.5.1 整数阶Sobolev空间和连续函数空间的嵌入定理12

1.5.2 整数阶Sobolev空间和连续空间的紧嵌入定理14

1.6 插值定理和Poincaré不等式15

1.7 分数阶Sobolev空间Hs（RN）18

1.8 一些引理19

1.9 离散函数空间的插值公式24

1.9.1 离散函数的插值公式24

1.9.2 关于离散函数指数为α的H？lder系数的不等式27

1.9.3 一个离散函数的不等式27

1.9.4 有限维空间连续映射的不动点定理28

1.10 含有时间的空间和含有时间的Sobolev空间28

1.10.1 含有时间的空间28

1.10.2 含有时间的Sobolev空间29

第2章 非线性高阶双曲型方程的初边值问题31

2.1 广义IMBq方程初边值问题整体解的存在性与不存在性31

2.1.1 引言31

2.1.2 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）局部广义解的存在性和唯一性32

2.1.3 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）整体广义解的存在性和唯一性36

2.1.4 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）整体古典解的存在性42

2.1.5 初边值问题（2.1.5 ）-（2.1.7 ）解的爆破45

2.1.6 在方程（2.1.5 ）中f（u）＝Kuq的情况46

2.1.7 与本节内容有关的文献48

2.2 一非线性四阶波动方程解的存在性和不存在性48

2.2.1 引言48

2.2.2 问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）的局部解的存在性和唯一性48

2.2.3 问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）的整体古典解50

2.2.4 问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）整体解的不存在性53

2.2.5 与本节内容有关的文献56

2.3 一类非线性波动方程整体解的存在性和不存在性56

2.3.1 引言56

2.3.2 主要结果57

2.3.3 局部解59

2.3.4 解的整体存在性证明62

2.3.5 解爆破的证明64

2.3.6 关于方程（2.3.1 ）和方程（2.3.5 0）；两个例子68

2.3.7 与本节内容有关的文献70

2.4 一类非线性四阶波动方程解的渐近性质和解的爆破70

2.4.1 引言70

2.4.2 初边值问题（2.2.2 ）-（2.2.4 ）解的渐近性质70

2.4.3 初边值问题（2.2.2 ）（2.2.4 ）和初边值问题（2.2.2 ），（2.2.5 ），（2.2.6 ）解的爆破72

2.4.4 关于问题（2.2.1 ），（2.2.3 ），（2.2.4 ）78

2.4.5 与本节内容有关的文献79

2.5 广义立方双色散方程的初边值问题80

2.5.1 引言80

2.5.2 辅助问题（2.5.6 ）-（2.5.8 ）的整体解82

2.5.3 初边值问题（2.5.1 ）-（2.5.3 ）的整体解86

2.5.4 初边值问题（2.5.1 ）-（2.5.3 ）整体解的不存在性88

2.5.5 初边值问题（2.5.5 ），（2.5.2 ），（2.5.3 ）和初边值问题（2.5.4 ），（2.5.2 ），（2.5.3 ）89

2.5.6 与本节内容有关的文献90

2.6 具有阻尼的非线性双曲型方程的初边值问题90

2.6.1 引言90

2.6.2 解的整体存在性与唯一性91

2.6.3 解的爆破97

2.6.4 与本节内容有关的文献101

2.7 具有粘性阻尼的拟线性波动方程初边值问题解的整体存在性101

2.7.1 引言101

2.7.2 弱解的整体存在性102

2.7.3 整体广义解和整体古典解的存在唯一性111

2.7.4 与本节内容有关的文献114

2.8 具有粘性阻尼的拟线性波动方程的初边值问题解的爆破115

2.8.1 引言115

2.8.2 问题（2.8.1 ）-（2.8.3 ）局部解的存在唯一性115

2.8.3 解的爆破122

2.8.4 一个例子128

2.8.5 与本节内容有关的文献128

2.9 “坏”Boussinesq型方程初边值问题局部解的存在性129

2.9.1 引言129

2.9.2 主要结果的表述129

2.9.3 局部解的存在性130

2.9.4 解的爆破137

2.9.5 与本节内容有关的文献139

2.10 一类非线性四阶波动方程的位势井方法139

2.10.1 引言139

2.10.2 位势井的定义和存在性140

2.10.3 问题（2.1 0.3 ）-（2.1 0.5 ）整体弱解的存在性142

2.10.4 整体广义解与整体古典解的存在唯一性149

2.10.5 与本节内容有关的文献152

2.11 具有粘性项的拟线性波动方程的初边值问题153

2.11.1 引言153

2.11.2 主要定理154

2.11.3 近似解的积分估计155

2.11.4 主要定理的证明163

2.11.5 与本节内容有关的文献167

2.12 一类具色散项非线性波动方程的初边值问题167

2.12.1 引言167

2.12.2 弱解的整体存在性和渐近性质168

2.12.3 一维的情况176

2.12.4 解的爆破179

2.12.5 与本节内容有关的文献184

2.13 一类具有色散和非线性应变项的四阶波动方程的初边值问题184

2.13.1 引言184

2.13.2 预备引理和位势井族的引入185

2.13.3 不变集和解的真空隔离194

2.13.4 具有E（0）＜d的问题（2.1 3.1 ）-（2.1 3.3 ）解的整体存在性与不存在性196

2.13.5 具有临界初值条件E（0）＝d的问题（2.1 3.1 ）-（2.1 3.3 ）203

2.13.6 推论和例子206

2.13.7 与本节内容有关的文献207

2.14 一类具强阻尼非线性波动方程解的整体存在性和解的渐近性质207

2.14.1 引言207

2.14.2 预备引理210

2.14.3 解的整体存在性212

2.14.4 解的渐近性质216

2.14.5 例220

2.14.6 与本节内容有关的文献220

2.15 一类高阶非线性波动方程的时间周期问题220

2.15.1 引言220

2.15.2 预备知识220

2.15.3 问题（2.5.1 ）-（2.5.3 ）非平凡弱解的存在性224

2.15.4 与本节内容有关的文献227

第3章 非线性高阶双曲型方程的Cauchy问题228

3.1 广义IMBq方程的Cauchy问题228

3.1.1 引言228

3.1.2 Cauchy问题（3.1.1 ），（3.1.2 ）局部解的存在性与唯一性228

3.1.3 Cauchy问题（3.1.1 ），（3.1.2 ）整体解的存在性与唯一性233

3.1.4 Cauchy问题（3.1.1 ），（3.1.2 ）整体解的不存在性236

3.1.5 与本节内容有关的文献239

3.2 一类N维非线性波动方程的Cauchy问题239

3.2.1 引言239

3.2.2 Cauchy问题（3.2.3 ），（3.2.4 ）在C2（［0，∞）；Hs）中的整体解240

3.2.3 问题（3.2.6 ），（3.2.7 ）整体古典解的存在性和唯一性244

3.2.4 与本节内容有关的文献246

3.3 具阻尼广义IMBq方程的Cauchy问题246

3.3.1 引言246

3.3.2 Cauchy问题（3.3.1 ），（3.3.2 ）在u∈C3（［0，∞）；Wm，p∩ L∞∩L2）中整体解的存在唯一性和解的爆破247

3.3.3 Cauchy问题（3.3.1 ），（3.3.2 ）在u∈C3（［0，∞）；Hs）中整体解的存在唯一性以及解的爆破260

3.3.4 与本节内容有关的文献265

3.4 六阶Boussinesq型方程的Cauchy问题266

3.4.1 引言266

3.4.2 Cauchy问题（3.4.4 ），（3.4.5 ）的局部解267

3.4.3 Cauchy问题（3.4.4 ），（3.4.5 ）整体解的存在性和唯一性272

3.4.4 解的爆破276

3.4.5 与本节内容有关的文献280

3.5 广义立方双色散方程的Cauchy问题280

3.5.1 引言280

3.5.2 Cauchy问题（3.5.4 ），（3.5.5 ）局部解的存在性与唯一性280

3.5.3 整体解286

3.5.4 解的爆破291

3.5.5 与本节内容有关的文献295

3.6 具有流体动力学阻尼项的广义IMBq方程Cauchy问题解的渐近性质296

3.6.1 引言296

3.6.2 线性化方程Cauchy问题解的衰减估计296

3.6.3 Cauchy问题（3.6.1 ），（3.6.2 ）整体解的存在性与唯一性303

3.6.4 与本节内容有关的文献310

3.7 关于广义立方双色散方程Cauchy问题解的渐近性质310

3.7.1 引言310

3.7.2 线性化方程Cauchy问题解的衰减性质310

3.7.3 Cauchy问题（3.7.1 ），（3.7.2 ）整体解的存在性与唯一性315

3.7.4 与本节内容有关的文献322

3.8 广义Benney-Luke方程的Cauchy问题322

3.8.1 引言322

3.8.2 局部解的存在性与唯一性323

3.8.3 整体解的存在性与不存在性329

3.8.4 与本节内容有关的文献339

3.9 多变量的广义IMBq方程的Cauchy问题339

3.9.1 引言339

3.9.2 周期边值问题（3.9.1 ），（3.9.2 ）339

3.9.3 Cauchy问题（3.9.1 ），（3.9.3 ）350

3.9.4 与本节内容有关的文献353

3.10 广义立方双色散方程的周期边值问题和Cauchy问题353

3.10.1 引言353

3.10.2 辅助问题（3.1 0.3 ），（3.1 0.4 ）的周期边值问题354

3.10.3 Cauchy问题（3.1 0.3 ），（3.1 0.4 ）358

3.10.4 Cauchy问题（3.1 0.1 ），（3.1 0.2 ）360

3.10.5 Cauchy问题（3.1 0.3 ），（3.1 0.4 ）解的爆破362

3.10.6 Cauchy问题（3.1 0.1 ），（3.1 0.2 ）解的爆破366

3.10.7 Cauchy问题（2.5.5 ），（3.1 0.2 ）和（2.5.4 ），（3.1 0.2 ）368

3.10.8 与本节内容有关的文献368

3.11 三维具阻尼双曲型方程Cauchy问题解的爆破369

3.11.1 引言369

3.11.2 周期边值问题369

3.11.3 Cauchy问题（3.1 1.1 ），（3.1 1.2 ）377

3.11.4 Cauchy问题（3.1 1.1 ），（3.1 1.2 ）解的爆破382

3.11.5 例子386

3.11.6 与本节内容有关的文献390

3.12 广义IMBq方程Cauchy问题的小振幅整体解390

3.12.1 引言390

3.12.2 线性化方程的估计390

3.12.3 非线性估计403

3.12.4 主要定理406

3.12.5 Cauchy问题（3.1 2.1 ），（3.1 2.2 ）小初值的一个非线性散射结果409

3.12.6 与本节内容有关的文献411

3.13 具有阻尼项的非线性波动方程的Cauchy问题412

3.13.1 引言412

3.13.2 整体解412

3.13.3 与本节内容有关的文献422

3.14 具有组合幂型非线性项的广义Boussinesq方程的Cauchy问题422

3.14.1 引言422

3.14.2 预备结果424

3.14.3 解的不变集429

3.14.4 解的整体存在性和解在有限时刻爆破430

3.14.5 与本节内容有关的文献434

第4章 非线性高阶抛物型方程435

4.1 非线性拟抛物型方程Cauchy问题解的整体存在性435

4.1.1 引言435

4.1.2 Cauchy问题（4.1.1 ），（4.1.2 ）整体解的存在性和唯一性437

4.1.3 Cauchy问题（4.1.3 ），（4.1.4 ）整体解的存在性和唯一性444

4.1.4 与本节内容有关的文献450

4.2 广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题451

4.2.1 引言451

4.2.2 Cauchy问题（4.2.5 ），（4.2.4 ）局部弱解的存在性和唯一性452

4.2.3 Cauchy问题（4.2.5 ），（4.2.4 ）整体解的存在性和唯一性459

4.2.4 N＝3的情况460

4.2.5 N＝2的情况464

4.2.6 N＝1的情况466

4.2.7 Cauchy问题（4.2.5 ），（4.2.4 ）解的衰减性质467

4.2.8 与本节内容有关的文献467

4.3 人口问题中的三维Ginzburg-Landau模型方程的Cauchy问题467

4.3.1 引言467

4.3.2 周期边值问题（4.3.1 ），（4.3.3 ），（4.3.4 ）468

4.3.3 Cauchy问题（4.3.1 ），（4.3.2 ）475

4.3.4 解的渐近性质475

4.3.5 与本节内容有关的文献476

4.4 人口问题中一广义Ginzburg-Landau模型方程的时间周期解476

4.4.1 引言476

4.4.2 问题（4.4.1 ）-（4.4.3 ）的近似解的积分估计477

4.4.3 问题（4.4.1 ）-（4.4.3 ）解的存在性和唯一性482

4.4.4 与本节内容有关的文献484

4.5 关于人口问题中的一广义扩散模型的定解问题485

4.5.1 引言485

4.5.2 周期边值问题（4.5.1 ），（4.5.2 ）；初值问题（4.5.1 ），（4.5.3 ）；初边值问题（4.5.1 ），（4.5.4 ）；（4.5.1 ），（4.5.5 ）和（4.5.6 ），（4.5.7 ）486

4.5.3 与本节内容有关的文献495

4.6 Cahn-Hilliard方程的初边值问题495

4.6.1 引言495

4.6.2 初边值问题（4.6.1 ）-（4.6.3 ）古典解的存在性与唯一性496

4.6.3 初边值问题（4.6.1 ）-（4.6.3 ）解的爆破501

4.6.4 小初值初边值问题（4.6.1 ）（4.6.3 ）整体解的存在性504

4.6.5 维数N＝2，3情况的初边值问题（4.6.4 ）-（4.6.6 ）509

4.6.6 与本节内容有关的文献512

4.7 人口问题中一广义扩散模型方程的初边值问题的有限差分法513

4.7.1 引言513

4.7.2 有限差分方程组（4.7.4 ）-（4.7.6 ）解的存在性和唯一性516

4.7.3 有限差分方程组（4.7.4 ）-（4.7.6 ）解的先验估计518

4.7.4 当h2＋△t2→0时，有限差分方程组（4.7.4 ）-（4.7.6 ）的解v？（j＝0，1，…，m；n＝0，1，…，N0）的收敛性525

4.7.5 与本节内容有关的文献528

第5章 非线性高阶发展方程组529

5.1 广义IMBq型方程组的初边值问题529

5.1.1 引言529

5.1.2 初边值问题（5.1.1 4），（5.1.1 6），（5.1.1 8）的整体解532

5.1.3 问题（5.1.1 3）-（5.1.1 8）的整体解543

5.1.4 与本节内容有关的文献544

5.2 源于DNA的广义IMBq方程组的Cauchy问题545

5.2.1 引言545

5.2.2 Cauchy问题（5.2.5 ），（5.2.6 ）在C2（［0，∞）；Hs×Hs）中整体解的存在性和唯一性546

5.2.3 Cauchy问题（5.2.5 ），（5.2.6 ）解的爆破554

5.2.4 Cauchy问题（5.2.5 ），（5.2.6 ）解在C（［0，∞）；Wm，p∩L∞×Wm，p∩L∞）中的整体存在性和唯一性557

5.2.5 与本节内容有关的文献566

5.3 耦合IMBq型方程组的Cauchy问题（Ⅰ）566

5.3.1 引言566

5.3.2 局部解的存在性和唯一性567

5.3.3 整体解的存在性和唯一性569

5.3.4 整体解的不存在性573

5.3.5 例子576

5.3.6 与本节内容有关的文献577

5.4 耦合IMBq型方程组的Cauchy问题（Ⅱ）577

5.4.1 引言577

5.4.2 Cauchy问题（5.4.5 ），（5.4.6 ）的解在空间C3（［0，∞）；Wm，p∩L∞∩L2）中的存在性和唯一性578

5.4.3 Cauchy问题（5.4.5 ），（5.4.6 ）解的爆破589

5.4.4 定理的应用591

5.4.5 与本节内容有关的文献594

5.5 一维非线性Schr？dinger-IMBq方程的耦合方程组的Cauchy问题595

5.5.1 引言595

5.5.2 局部解的存在性595

5.5.3 整体解602

5.5.4 与本节内容有关的文献606

5.6 多维非线性Schr？dinger方程与广义IMBq方程耦合方程组的Cauchy问题606

5.6.1 引言606

5.6.2 周期边值问题（5.6.3 ）-（5.6.6 ）607

5.6.3 Cauchy问题（5.6.3 ），（5.6.4 ），（5.6.7 ）624

5.6.4 与本节内容有关的文献627

参考文献628

索引649

《现代数学基础丛书》已出版书目653