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第1章 函数1

1.1 基本要求1

1.2 知识点解析1

【1-1】函数概念的理解1

【1-2】反函数的记号与图像2

【1-3】如何围绕函数的初等运算探索函数性质2

1.3 解题指导2

【题型1-1】求解不等式2

【题型1-2】确定函数的定义域4

【题型1-3】求可逆函数的反函数4

【题型1-4】求函数的复合以及分析复合函数的构成5

【题型1-5】确定函数所具备的几何性质6

1.4 知识扩展8

习题110

部分答案与提示11

第2章 极限与连续13

2.1 基本要求13

2.2 知识点解析13

【2-1】理解数列极限的定义13

【2-2】判定变量的极限存在的常用方法14

【2-3】判定变量的极限不存在的常用方法14

【2-4】收敛数列是否一定是单调有界数列14

【2-5】数列在增加、减少或改变有限项之后是否会改变其敛散性14

【2-6】使用极限四则运算法则时注意前提条件14

【2-7】注意归纳特殊函数所承载的性质15

【2-8】如何论述数列或函数的无界性15

【2-9】无界变量与无穷大量的区别15

【2-10】等价代换与函数运算的关系归纳15

2.3 解题指导16

【题型2-1】依据定义或性质论证极限结果16

【题型2-2】有通项公式的数列极限计算17

【题型2-3】递归方式定义的数列的极限计算18

【题型2-4】确定无穷小量的主部19

【题型2-5】使用无穷小量因式替换求函数极限20

【题型2-6】求幂指型变量uv的极限21

【题型2-7】根据极限相关条件确定待定参数问题22

【题型2-8】判断函数的连续性23

【题型2-9】函数的间断点确定与类型识别24

【题型2-10】连续函数的介值问题24

【题型2-11】与连续有关的其他问题26

2.4 知识扩展26

习题227

部分答案与提示30

第3章 导数与微分31

3.1 基本要求31

3.2 知识点解析31

【3-1】学习导数的重要意义31

【3-2】几对容易混淆的导数记号31

【3-3】在一点连续但不可导的函数32

【3-4】一点处可导与一点附近可导的区别32

【3-5】导数概念与微分概念的比较33

【3-6】何时需要依据定义求函数在一点的导数33

【3-7】复合函数导数的链法则与复合函数微分的链法则33

【3-8】导函数的周期性与奇偶性34

【3-9】绝对值函数的可导性34

【3-10】与导数定义等价的几个极限式35

3.3 解题指导35

【题型3-1】依据导数定义判定函数在某点的可导性及计算导数35

【题型3-2】由可导性确定函数中的待定参数37

【题型3-3】讨论导函数在一点的连续性38

【题型3-4】一类可以转化为函数在某点的导数的极限39

【题型3-5】含绝对值因式的函数的可导性39

【题型3-6】依据求导法则和公式计算初等函数的导数40

【题型3-7】求反函数的导数41

【题型3-8】求隐函数的导数42

【题型3-9】求由参数方程所确定的函数的导数43

【题型3-10】求由极坐标方程所确定函数的导数44

【题型3-11】求幂指函数与连续积商函数的导数44

【题型3-12】微分的计算与应用45

【题型3-13】求函数的n阶导数47

【题型3-14】求相关变化率48

【题型3-15】导数的几何应用48

3.4 知识扩展49

习题351

部分答案与提示55

第4章 微分中值定理·应用57

4.1 基本要求57

4.2 知识点解析57

【4-1】本章的脉络和主要思想方法57

【4-2】拉格朗日中值公式的等价形式及意义57

【4-3】柯西中值定理的下述证法对吗58

【4-4】正确理解微分中值定理的条件58

【4-5】选用微分中值定理的一般原则和思路58

【4-6】洛必达法则使用要点59

【4-7】函数的驻点与函数的极值点关系59

【4-8】极值与最值的区别与联系是什么60

【4-9】曲线渐近线60

【4-10】泰勒公式的重要性和典型用途归纳60

4.3 解题指导60

【题型4-1】方程的根问题60

【题型4-2】函数的中值问题（或表现为方程的根问题）62

【题型4-3】函数恒等式（或函数恒为常数）的证明67

【题型4-4】含中值点导数（或f（x2）－f（x1））的不等式的证明67

【题型4-5】函数不等式u（x）＞v（x）的证明69

【题型4-6】求函数的泰勒展开式73

【题型4-7】泰勒公式用于确定无穷小量主部和导数计算74

【题型4-8】未定型（或不定式）的极限75

【题型4-9】函数单调性与凹凸性的判别78

【题型4-10】极值问题80

【题型4-11】最值问题82

【题型4-12】求曲线的渐近线82

【题型4-13】求曲线的曲率83

【题型4-14】函数的作图84

4.4 知识扩展85

习题486

部分答案与提示90

第5章 不定积分92

5.1 基本要求92

5.2 知识点解析92

【5-1】在区间（a,b）内有间断点的函数是否存在原函数92

【5-2】为何有时候使用的方法不同求出来的原函数不一样92

【5-3】初等函数的原函数是否还是初等函数93

【5-4】不理解任意常数作用导致的一种错误93

【5-5】不定积分法的选择要领93

【5-6】基本积分表的扩充94

5.3 解题指导94

【题型5-1】用分项积分法计算不定积分94

【题型5-2】用凑微分法计算不定积分95

【题型5-3】用换元法计算不定积分99

【题型5-4】用分部积分法计算不定积分101

【题型5-5】求有理函数的不定积分104

【题型5-6】一题多解举例107

【题型5-7】计算分段函数的不定积分110

【题型5-8】涉及不定积分概念与性质的综合问题111

5.4 知识扩展112

习题5113

部分答案与提示116

第6章 定积分120

6.1 基本要求120

6.2 知识点解析120

【6-1】可利用定积分概念解决的问题120

【6-2】闭区间上的有界函数是否一定可积120

【6-3】如果｜f（x）｜可积，那么f（x）是否一定可积120

【6-4】函数可积与存在原函数是不是一回事121

【6-5】为什么说牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本公式121

【6-6】对称区间上的连续奇函数的原函数都是偶函数吗121

【6 7】对称区间上的连续偶函数的原函数都是奇函数吗121

【6-8】连续周期函数的原函数都是周期函数吗122

【6-9】反常积分与定积分的关系122

【6-10】能否将定积分中“对称性方法”用在反常积分上122

6.3 解题指导122

【题型6-1】用分项积分法和凑微分法求定积分122

【题型6-2】用换元法求定积分123

【题型6-3】用分部积分法求定积分124

【题型6-4】求对称区间上的定积分126

【题型6-5】求周期函数的定积分127

【题型6-6】求分段函数的定积分128

【题型6-7】利用几个定积分公式求某些定积分129

【题型6-8】利用定积分求某些n项和的数列的极限130

【题型6-9】求变限积分函数的导数132

【题型6-10】定积分等式的证明133

【题型6-11】与定积分有关的方程的根问题或中值问题135

【题型6-12】定积分不等式的证明138

【题型6-13】求含变限积分或定积分的极限142

【题型6-14】讨论变限积分函数的基本性质143

【题型6-15】求分段函数的变限积分146

【题型6-16】求解两种含有积分的函数方程146

【题型6-17】求无穷区间上的反常积分147

【题型6-18】求无界函数的反常积分148

【题型6-19】求混合型反常积分149

【题型6-20】求平面区域的面积150

【题型6-21】求截面面积为已知的立体的体积151

【题型6-22】求平面曲线的弧长152

【题型6-23】定积分的物理应用153

【题型6-24】与定积分有关的最值问题154

6.4 知识扩展156

习题6157

部分答案与提示163

第7章 常微分方程165

7.1 基本要求165

7.2 知识点解析165

【7-1】方程分类与解法对应总览165

【7-2】微分方程的通解是否指微分方程的所有解166

【7-3】求解一阶微分方程的关键是什么？166

【7-4】如何求二阶齐次常系数线性微分方程的通解167

【7-5】如何求二阶非齐次常系数线性微分方程的通解167

7.3 解题指导167

【题型7-1】求一阶微分方程的通解或特解167

【题型7-2】可降阶的高阶微分方程的求解172

【题型7-3】二阶常系数线性微分方程求解174

【题型7-4】三阶及以上常系数齐次线性微分方程的求解176

【题型7-5】已知微分方程的解，反求微分方程176

【题型7-6】欧拉方程的求解178

【题型7-7】能转化为微分方程的积分方程的求解179

【题型7-8】微分方程的几何应用举例181

【题型7-9】微分方程的物理应用举例182

【题型7-10】微分方程综合问题184

7.4 知识扩展185

习题7186

部分答案与提示189

第8章 矢量代数与空间解析几何192

8.1 基本要求192

8.2 知识点解析192

【8-1】矢量与数量的比较192

【8-2】数量积、矢量积、混合积的比较193

【8-3】平面方程的四种形式193

【8-4】直线方程的四种形式194

【8-5】直线、平面间的位置关系194

【8-6】柱面和旋转面的方程特征195

【8-7】如何求空间点或曲线在其他图形上的投影点或投影线195

8.3 解题指导195

【题型8-1】矢量的性质与运算195

【题型8-2】矢量方法在初等几何学中的应用198

【题型8-3】求平面方程199

【题型8-4】求直线方程202

【题型8-5】直线、平面间的位置关系204

【题型8-6】点到直线与点到平面的距离205

【题型8-7】求旋转曲面的方程207

【题型8-8】求空间曲线在坐标平面上的投影208

8.4 知识扩展209

习题8210

部分答案与提示213

第9章 多元函数微分学215

9.1 基本要求215

9.2 知识点解析215

【9-1】二元函数极限与一元函数极限的对比215

【9-2】多元函数的连续性与对每个变量连续的关系216

【9-3】在一点的连续、偏导存在、方向导数存在以及可微等的相互关系216

【9-4】隐函数存在定理的几点注记217

【9-5】条件极值与拉格朗日乘数法217

【9-6】梯度概念的理解217

9.3 解题指导218

【题型9-1】二重极限的存在性与计算问题218

【题型9-2】连续、偏导存在、可微的判定问题219

【题型9-3】复合函数求导222

【题型9-4】隐函数求导226

【题型9-5】空间曲线的切线和空间曲面的切平面229

【题型9-6】求方向导数与梯度231

【题型9-7】求多元函数的极值232

【题型9-8】求有界闭区域上连续函数的最大值与最小值234

【题型9-9】最值应用问题235

9.4 知识扩展236

习题9237

部分答案与提示240

第10章 重积分243

10.1 基本要求243

10.2 知识点解析243

【10-1】如何在直角坐标系下将二重积分化为逐次积分243

【10-2】在什么情况下采用极坐标代换计算二重积分244

【10-3】如何利用对称性化简重积分计算244

【10-4】如何利用几何意义与重心公式计算重积分245

【10-5】如何在直角坐标系下将三重积分化为二重积分及定积分246

【10-6】如何在柱面坐标系下计算三重积分246

【10-7】如何在球面坐标系下计算三重积分247

【10-8】不绘制空间图形如何确定三重积分的积分限247

10.3 解题指导248

【题型10-1】在直角坐标系下计算二重积分248

【题型10-2】在极坐标系下计算二重积分250

【题型10-3】利用对称性化简二重积分252

【题型10-4】交换积分次序或转换两种坐标系中的二次积分254

【题型10-5】在直角坐标系下计算三重积分257

【题型10-6】在柱面坐标系下计算三重积分258

【题型10-7】在球面坐标系下计算三重积分259

【题型10-8】利用对称性化简三重积分261

【题型10-9】改变积分次序或坐标系计算三重积分262

【题型10-10】求分段函数的重积分262

【题型10-11】利用重心计算重积分265

【题型10-12】利用一般变量代换计算重积分266

【题型10-13】重积分的不等式或等式的证明268

【题型10-14】变区域重积分问题269

【题型10-15】重积分的几何应用270

【题型10-16】重积分的物理应用270

10.4 知识扩展272

习题10273

部分答案与提示277

第11章 曲线积分与曲面积分279

11.1 基本要求279

11.2 知识点解析279

【11-1】第一型曲线积分的计算方法279

【11-2】第一型曲面积分的计算方法280

【11-3】关于第一型曲线积分的对称性280

【11-4】关于第一型曲面积分的对称性280

【11-5】如何利用几何意义与重心公式计算第一型曲线及曲面积分281

【11-6】将第二型曲线积分化为定积分的要点281

【11-7】如何选择第二型平面曲线积分的计算方法281

【11-8】如何选择第二型空间曲线积分的计算方法282

【11-9】将第二型曲面积分化为二重积分的要点283

【11-10】两类曲面积分的关系284

【11-11】如何将组合式的第二型曲面积分化为单一式的第二型曲面积分284

【11-12】如何选择第二型曲面积分的计算方法284

【11-13】场的定义和性质285

11.3 解题指导286

【题型11-1】第一型曲线积分的计算286

【题型11-2】第一型曲面积分的计算288

【题型11-3】第一型曲线积分与曲面积分的物理应用289

【题型11-4】第二型平面曲线积分的计算290

【题型11-5】利用曲线积分与路径无关的条件求函数297

【题型11-6】第二型曲面积分的计算299

【题型11-7】第二型空间曲线积分的计算303

【题型11-8】第二型线、面积分的物理应用举例306

【题型11-9】梯度、散度、旋度的综合计算307

11.4 知识扩展308

习题11310

部分答案与提示316

第12章 无穷级数318

12.1 基本要求318

12.2 知识点解析318

【12-1】添加括号是否改变级数的敛散性318

【12-2】通项趋于零的级数是否一定收敛319

【12-3】如何判定正项级数的敛散性319

【12-4】如何判定变号级数的敛散性319

【12-5】通项为等价无穷小的两个级数是否有相同的敛散性319

【12-6】通项趋于零，但不是单调减少的交错级数是否不收敛320

【12-7】两个收敛的变号级数之和的收敛性判定问题320

【12-8】如何求幂级数的收敛半径320

【12-9】如果幂级数？anxn和？bnxn的收敛半径分别为R1,R2，它们的和级数？（an+bn）xn的收敛半径一定为R=min｛R1,R2｝吗321

【12-10】幂级数经逐项求导或逐项积分后收敛半径、收敛区间和收敛域会变化吗321

【12-11】f（x）的泰勒级数在收敛域内一定处处收敛于f（x）吗321

【12-12】如何理解函数的幂级数展开式的唯一性321

【12-13】傅里叶级数与幂级数的比较322

12.3 解题指导322

【题型12-1】计算数项级数的部分和与数项级数的和322

【题型12-2】利用数项级数的性质讨论级数的敛散性323

【题型12 3】用比值法或根值法判别正项级数的敛散性324

【题型12-4】用比较判别法及其极限形式判别正项级数的敛散性325

【题型12-5】用积分判别法判别正项级数的敛散性327

【题型12-6】判定变号级数？un（或者称为任意项级数）的敛散性328

【题型12-7】证明包含有抽象的通项的数项级数的敛散性329

【题型12-8】求幂级数收敛半径及收敛域331

【题型12-9】将函数展开为幂级数333

【题型12-10】求幂级数的和函数336

【题型12-11】利用幂级数求数项级数的和337

【题型12-12】将区间［－π，π］上的函数展开为傅里叶级数339

【题型12-13】将区间［0，π］上的函数展开为正弦（或余弦）级数340

【题型12-14】将区间［－l,l］上的函数展开为傅里叶级数以及将区间［0,l］上的函数展开为正弦（或余弦）级数342

【题型12-15】求f（x）的傅里叶级数的和函数343

12.4 知识扩展344

习题12345

部分答案与提示349