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引言1

第一章 向量空间与矩阵10

1n维向量空间10

一、n维向量空间的基本概念10

二、向量组的线性相关与线性无关13

三、向量组的极大线性无关部分组和秩20

四、矩阵的秩24

练习题1.136

2线性方程组38

一、线性方程组的基本概念和求解方法38

二、齐次线性方程组42

三、线性方程组的一般理论48

练习题1.253

3矩阵代数55

一、矩阵的加法和数乘55

二、矩阵的乘法56

三、矩阵乘法的几何意义59

四、矩阵运算和秩的关系60

五、n阶方阵66

六、分块矩阵80

练习题1.388

第二章 行列式90

1行列式的定义、性质和计算方法90

一、行列式的定义90

二、行列式的性质94

三、行列式的计算方法97

四、分块矩阵的行列式107

练习题2.1108

2行列式的应用110

练习题2.2123

第三章 线性空间与线性变换126

1线性空间的基本理论126

一、线性空间的定义126

二、线性空间的基与维数131

三、基变换与坐标变换138

练习题3.1141

2线性空间的子空间和商空间144

一、线性空间的子空间144

二、子空间的交与和146

三、子空间的直和157

四、商空间163

练习题3.2167

3线性映射与线性变换170

一、线性映射的基本概念170

二、线性映射的运算175

三、线性映射的矩阵178

四、线性变换的基本概念181

练习题3.3190

4线性变换的特征值与特征向量192

一、特征值与特征向量的定义与计算方法192

二、线性变换矩阵可对角化的条件199

三、线性变换的不变子空间205

四、商空间中的诱导变换214

练习题3.4218

第四章 双线性函数与二次型221

1双线性函数221

一、双线性函数的定义221

二、对称双线性函数225

练习题4.1235

2二次型238

练习题4.2253

3实与复二次型的分类255

练习题4.3262

4正定二次型263

练习题4.4273

第五章 带度量的线性空间274

1欧几里得空间274

一、欧几里得空间的基本概念274

二、标准正交基277

练习题5.1289

2欧氏空间中的特殊线性变换291

一、正交变换291

二、对称变换299

三、用正交矩阵化实对称矩阵成对角形309

练习题5.2316

3酉空间317

一、酉空间的基本概念317

二、酉变换、正规变换和厄米特变换323

练习题5.3332

第六章 线性变换的若尔当标准形334

1若尔当标准形理论334

一、若尔当形的定义334

二、幂零线性变换的若尔当标准形335

练习题6.1342

2一般线性变换的若尔当标准形343

一、一般线性变换的若尔当标准形343

二、若尔当标准形的计算方法344

练习题6.2360

3最小多项式361

一、线性变换和矩阵的化零多项式361

二、线性变换和矩阵的最小多项式362

练习题6.3368

第七章 一元多项式环369

1一元多项式环的基本理论369

一、一元多项式的概念369

二、整除理论371

三、理想的基本概念372

四、因式分解理论374

练习题7.1386

2C，R，Q上多项式的因式分解387

一、C，R上多项式的素因式标准分解式387

二、Q上多项式的素因式标准分解式394

练习题7.2401

3实系数多项式实根的分布402

练习题7.3412

第八章 多元多项式环413

1多元多项式的基本概念413

一、多元多项式的定义413

二、整除性与因式分解417

练习题8.1421

2对称多项式422

一、对称多项式的基本定理422

二、对称多项式的应用424

练习题8.2432

3结式433

一、结式的概念433

二、结式的计算法434

练习题8.3439

代数学的历史演变441

部分练习题答案与提示448